Théorie des résidus, par H. Laurent.

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Cette proposition serait encore vraie pour un contourinfini, si par un changement de variable on pouvait ramener
l'integrale u a etre prise le long d'un contour fini, la
quantite placee sous le signe ne devenant pas infinie.
Nous verrons plus loin que quand une fonction est synectique en un point t du plan, toutes ses derivees sont
synectiques au meme point; il en resulte que si la fonction f(z, t) etait synectique et le contour zoz1 fini, on
aurait la derivee de u en differentiant la fonction sous le
signej et il en resulte immediatement que la fonction u
serait synectique par rapport a t.
26. A c6te de cette regle, dite de la diff6rentiation sous
]e signeJ, vient se placer la regle d'integration sous le
meme signe; elle peut s'enoncer de la nianiere suivante:
La valeur de l'integrale double
f(z t) (dzdt
est inddpendante de Fordre dans lequel on effectue les integrations.
Si 'on se reporte en effet a la definition donn.ee (16) de
l'intedgrale
ff(z) d,
nous aurons; 1 f ( z, t) dzndt= liln f (z, to) (t' to)
J^irn /f(Zo l,-+ f(, t')(t"- t) -.dz
limn [f(zo, to) (t'- t) (Z'- z) — f (z', to) (t' —to) (z- z/')
— f (, t') (t/ to)( z')- z)..
= J f (z t) dzdt.
-o. J^