Théorie des résidus, par H. Laurent.

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ddmonsti'ation ni'est applicable qu'aux fonctions synectiques.
Cela pose, si 1Fon considere divers chemins infinitment
voisins, tous compris a l'inwerieur de 'aire consideree et
passant en z0 et Z, les integrales de f'(z) prises le long
de ces chemins sont dgales stccessivement a un infinimeni
petit du second ordre pres, ce qui revient a dire que deux
quelconques d'entre elles sont iigoureusement egales. On
peut done enoncer ce theoreme retmarquable, etabli poutla premiere fois par Cauchy dans son Memroire deja cite
(16) mnais d'une imianiree un peu difierente.
19. Tl'HEiORiE 1.- Si la fonction f (z) reste synectique
l'interieur d'un certain contour, et si z0 et Z sont deux
points de ce contour, l'integrale j f (z) dz sera indpendante du contour le long duquel s'effectue l'integration,
pourvu que ce contour soit compris 4 l'interieur de 1'aire
en question.
THEOREME II. - Si V'on suppose actuellement les points
zo et Z infiniment rapproches, l'integrale prise sur la tigne
droite qui joint z, et Z sera infiniment petite et sensiblement
dgale d f (z), multiplie par l'imaginaire representee par la
distance de zo a Z. On peut donc dire que:
L'integrale d'une fonction synectique a V'interieur d'uine
certaine aire est nulle, quand elle est prise le long d'un contour ferme contenu dans cette aire.
20. THEOREBME III.- Considerons actuellement un contour
abc.c, et d'autres interieurs d celui-ci: 7mnp, Ist, etc. Supposons que f (z) reste synectique pour tous les points de l'aire
comprise entre le premier contour et les contours interieurs
designons, pour abreger, d'une maniere generale par M.
l'integrale def(z) prise le long d'un contour quelconque M;