Théorie des résidus, par H. Laurent.

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ou bien, negligeatl les infininent petits du second ordre
sous le signe j
f /(nd'- + f(z) dzz
Zo Zo
= f(z) dh-+- (z) h.dz.
Or, l'integration par parties donne, en observant que h
est nul en z0 et Z,
f(z)dhl=-! A (z) h.dz.
En comparant cette formule avec la precedente, on voit
que la difference entre les deux integrales proposees est
nulle, a un irifiniment petit du second ordre pres.
Dans cette demonstration, nous avons suppose que
f(z +- h) etait egal a f(z) a hf (z), mais Ie f(z) que
1aon obtient ainsi ne sera egal au (z) qui entre sous le
signe f dans la premiere integrale, que si, en suivant Ie
chemin brise zo z'z la ornctionf(z) prend la meme valeur an point z qu'en suivant le chemin direct z0 z
c'est-a-dire que la demonstration precedente suppose la
fonction f (z) monodrome dans l'intervalle compris entre
les deux chemins consideres.
Ensuite, en integrant par parties, nous avons suppose
que le fJ (z) limit de de f ) fz) etait edgal au ' (z)
i d f(z - dz) -f(z).limite de f + )_- ()-, ce qui suppose f(z) monogene. Enfin les operations que nous avons effictuees supposent f(z) finie e continule ainsi que J' (z) done notre