Théorie des résidus, par H. Laurent.

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autour du point - a, c'est-a-dire a 'interieur de tout
contour ne contenant pas - a.
14. La fonction ez a 6te definie pour les valeurs reelles
de z; quand z est imaginaire, on admet comme definition
la formule
(I) ex+YV ex (cosy + /- i siny).
Pour que cette definition soit rationnelle, il faut que les
proprietes de l'exponentielle reelle et de 1'exponentielle
imaginaire soient les meemes. Or les proprietes de l'exponentielle reelle se deduisent toutes de la formule
z. ez = ez"q-.
Nous allons la demontrer daus le cas oi z = x +q Y — I
et z x' - -yV/- f. On a
ex+yr-l e'+r - ex (coy + -- I siny) ex' (cosy' +/- siny),
et en vertu du theorerme Ier, n0 6,
e+r-. e'+' — -e ex+' (cosy y' + V/, sin + y'),
c'est-a-dire
ex J+yV-', e'r, e(+yv'-l'~)+(x'+4'v' fV1)
C. Q. F. D.
De la formule (i) on tire, en faisant x = o,
er~ —7 _ cosy -+ /_ I siny,
et changeanty en -y?
e-ry- - cosy — '- I sin y