Théorie des résidus, par H. Laurent.

( 167 )

Seconde medhode pour trouver des series trigonomedriques.
106. Lorsqu'une fonction a ete developpee en serie
ordonnee par rapport aux puissances croissantes de sa
variable, il suffit de remplacer cette variable par
r(cosO-+- -i sinO), de separer dans le resultat les
parties reelles des parties imaginaires, pour obtenir un
grand nombre de series trigonometriques.
I~ On a, par exemple,
I — I- z -4- z2 -4-.,-+ z' -4...-.
I - z
Si l'on pose z = r (cos 0- +/- i sin 0), on a
rsinQ /-4-I I - 7cos
= I -+ r (cos o- +V-i sinO) +...
I — 2rcOSO + r2
+ r" (cos,/O + /-I sinnO)...,
ou cette equation se decompose en denx autres:
rsino
-- r sin -+ r2 sin 20 +... - r sin n 6...,
I - 2 r csO + - '2
I - rcosO
-- --— rcosO- +3lcos 20 -.+.. — r' cosnO —....
I - 2r COS + r2
Mais ces formules ne sont vraies qu'autant que r, le module de z, reste moindre que I.
2~ On a
2 2 3 nZ
(I) — ( - z — + -+ +.3 -
En posant z - r(cos0 - /-i sin 0) et opdrant comme
dans 1'exemple precedent, on trouve pour toutes les va