Théorie des résidus, par H. Laurent.

( 65)
1' Posons d'abord c (x) = i: elles devienunent
- _sin sin3x sin5x
(3) 4 -4-+ 3-9- -4..,,
4. i 5
la formule (3) est vraie tant que x varie entre o et 7: on
a alors, en faisant x a -, la formule de Leibnilt
2
7r I I I
4 3 5 7
2~ Si nous posons dans les formules (I) cl (2) t (x) X
elles donnent
I. sin2zx sin 3 x
- -sin f - s in - _
2 2 3
x 7T2 cos 3.x cos5x
I4 8 O- - S+ 32 ~ +
4 = 32os + -g - + - 52 +
Ces formules ont lieu pour les valeurs de x comprises
entre o et rr, et comme, dans la premiere, les deux membres sont des fonctions impaires de x, il en resulte qu'elle
a encore lieu pour les valeurs de x comprises entre o et
r —t. Si Plon y change x en rr - x, on trouve
r z - x sin 2 sin 3
s= inx - --- + - 4- -
2 2 3
7r2 x cos 3 cosSx
8 -4 os - 32 5- +.
La premiere de ces formules a lieu pour les valeurs de x
comprises entre o et 27r; la seconde pour les valeurs de x
comprises entre o et 7r.
3~ En posant? (x) = sin x dans la formule d'Euler et