Théorie des résidus, par H. Laurent.

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tonction syriectique considerec comme fonction de son
argument. II serait interessant de voir ce que devient le
second mnembre de cette formule quahnd F (0), au lieu
d'&tre de ]a forme f (revs —), est une fonction quelconque. A cet effet, posons
b
(i)sn=- f F(0)0o+ — (F(0),osn(t-Q)d0;
( <l) t27r ( ) + w \ JL
cette forniule pourra s'decrire
s,.,,- - JI (0) -+- cos(t- 0)+ co2 (t- 0) +...
+ cosn (t - 0) dO,
ou biei, observan t que
sin n -4 — (t-)
( 2
- os(- 0) +. co (t- ) + cos (t- 0)=
2.
2 sin (t- 0)
2 2
et posant a7-q- E egal a co,
t-
(2) F'() =-X t- 0o: dO.
sin
Proposons-nous de voir ce que devient s,, pour nI ou
pour c)= cO. Nous allons passer en revue successivement
plusieurs cas; nous supposerons t et 0 reels, la fonction
F (0) pouvant etre reelle ou imaginaire.
1~ La fonction F (0) est continue quand 0 varie de a
a b, et sin — ne passe pas par zero sous le sigone
Decomposons 1integrale de la formule (,.) en une
somme d'autres relatives 'a a melle fonction mais prises,471 4, 87'
entre des limites a et a --- a --- cI a + - -,...
o) ) w)