Théorie des résidus, par H. Laurent.

( 5o )
Cette equation prouve que si zi, est un polynome entier par rapport a x ou meme urie fraction rationnelle,
s sera une fbnction rationnelle de x, ce qui demontre en
particulier le theoreme que nous avions enonce.
101. PROBLEME II. - Etant donnee une serie ordonnee
suivant les puissances croissantes d'une mdme lettre,
(l) f(x) { = (a + al x -+t- a2 +...+ anXn,
on propose de reconnaitre si elle est recurrente.
Si cette serie est recurrente, la fonction f'() sera de
la forme
/x - - k0 -+- -2.Iz'2 -+ - ~- xi
z -4_ - pt x 4 —. x + 2 -+..-+- i xi
On devra donc avoir
' )'o -+ lX"" -+-...+ ixi
- ([0 + 1t.r- +...+ xjxi) (no+ a, x + x a,2 +...)
on bien, ii partir d'un certain terme,
Io an+,. ~~, a,_ + -[ j a,+j -- o,
2) ~nq +l - +-*F..+ aj n-,j-l 0,
(2)
(2).......................
0 oan+ -+... + j atn-j-j+k 0
ou, ce qui revient au nieme: on devra avoir, quel que
soit n (suffisamment grand),.-.......... 0.
anj, aatlj...*, a,-j
Si cette condition est satisfaite, les equations (2) feroit
connaitre l'eclelle de relation, et le theornme precedent
fourIira Ia valeur de la serie,