Théorie des résidus, par H. Laurent.

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il vi(lent, 'en chassant le d(elnomlinatleua',
)' - + 1 -+.. -+- )i,
=a, to ~+ ' ' 4- ~ " (,,,t-o + 1a,,, - +..4-,j ) 4- '...
d'oi 1 7on dd.leuitt, en supposallt I' > >,
an [-, + a- ^a -I- an.. ~ -t n-_j - = o.
Cette relation pent encore s'ecrire ainsi qu'il suit:
(I,, Xn(4o) -+ a x,,_, (t, x) 4-... t,,_-.Jx-i (.i) x)-o.
C'est une relation lineaire entre j + i termes consecutifs. La serie (i) est done recurrente; son echelle de relation est
r2",,, 2 xj
- - -, *2 ___'__
Uo p-o o0
Les termes de cette echelle sont ceeux du denominateur
de la fraction pris en signe contraire divises par po.
Remlarquons avant'd'aller plus loin. que si iest plus
petit que, les premiers termes de la serie seront deja
recurrents; que si, au contraire, i est plus grand que j,
le premier terme recurrent sera seulement le (i+ 2)ie e.
Supposons en second lieu qu'il n'entre que des puissances negatives dans le developpemient; on posera enColre
), - +, X —...-'- +)i 'i -, a2
-4- I s x 4- +... — XI i X X-
iMais en divisant les deux terrmes de la fraction qui entre
dans le premier membre de cette equation par une puissance convenable de x, il devient une f6nction rationnelle
(e -' et, en repetant le meme raisonnement que tout a
'heure, on arriverait encore ' demontrer que le developpement doit etre recurrent.