Théorie des résidus, par H. Laurent.

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tion rationnel]eJ'(.xr) decomposee en fractions simples,
E (x) designant ine fonction entiere. On aura alors
' -1 A
(1) f()= E(r) -+2 ( A)
Supposons le module de x compris entre ceux des deux
infinis o- et ea+, def(x), en sorle que l'on ait
mod. ai; >...> md.l,.+,>modx c>,..> mrlodx. cki _>..
> mod. t;
on pourra ecrire ainsi qu'il suit l'dquation (x)
A A
f(.x)= E(x) + -,_+ 4 )P
71l7 /7 )
n( -= I 7n =r A' -i-1
Les quantites placees sous le premier signe se developpent par la fornule du binome suivant les puissances
decroissantes nigatives de x; les quantites placees sous
le second signe se developpent par la memne formule suivant les puissances croissantes de x. En ajoutant les series ainsi obtenues avec le polyno6me F (x), on a le developpement demand.100. THOREME II.- Le developpement d'une fonction
rationnelle ordonne suivant les puissances entieres de sa
variable est toujours recurrent.
Pour dermontrer cette proposition, nous comlmencerons
par demontrer que si dans le developpement il n'entre
que des puissances entieres il est necessairement recurrent. En effet, si nouis posons
(1) +,0 - ~, x +.. 2. +
o04- +.'t.r-h...' ^ q-'' j'r.. O.