Théorie des résidus, par H. Laurent.

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cles f (z) ne devienne pas infini, ce qui prouve bien que
I'on peut remplacer R et R' par une Meme valeur r cornprise entre R et R'; on a alors
00~~~~~d
- 2 o r~le nO \/93. THiioRIhmE II. - Lorsque la fonction J' (x) est
synectique 4 l'intdrieur d'une couronne circulaire A ayant
son centre 4t iorigine, elie ne pentlre ddveloppe'e que d'une
seule manie're en sdrie ordonnde suivctnt les puissances en-,
tie'res de sa vau'iable.
En effet, supposons que l'o~n aiLt en Un certain point de
cette cou-ronne
n - -+- co
(i) ~~~~f (X) a, x.
n = - Co
ainsi que danis le voisinage de ce point. Les deux niernbres de cette &quation resteront e6gaux taut que f (x) sera'
synecticjue et le second membre convergent. Or ce second.
nmembre reste convergent quand x conserve le meme miodule, c est-at-dire quand Ai vanie sur un cercie ayant son
centre 'a l'origine.Cela pose~onsait~en vertudu the'orerne
de Laurent, cjue f (x) est de'veloppable en se~rie 'a Pint&rieur de la couronne A et que le terme general de cette
serie est x"s (Jz).L) Cette se'rie et la se'ri e (i) doi -
ven~t doncek~re e'gales tout le long d'un cercie de'crit dc
Ponigine conime centre, et l'on a le long de cc cercie
-Co ~~~~~~~~~~-4-~