Théorie des résidus, par H. Laurent.

ou mrnie. une fonction F quelconque de cette raCiue,
le de'veloppernent devant e~tre effectue6 suivant les puissauces croissantes de t.
Nous supposerons les fonctions zj (z) et F (z) synectiques au point' x, een d'signanit alors par ~ la racine
cherch~e' on aura (50)
(2) ~F(~)- ~ ) I - trT'(Z)
le re'sidu pouvant etre pris 'a linte'rieur d'un coiitour (A) contenaut la seule 'racine C,- le point x et pas
d'i nfini ni de F(z), ni de v ( Z).
En vertu. du the'or~me de M. Puiseux (48), C' sera une
fonction synectique de t, tant qu'a' 1'inte'rieur du contour (A) ili n'existera r4i infini de tu (z), ni racine double
de e'6quation (i). Cherchons la condition que doit remplir
ce contour pour quL'il en soit ainsi.
A cet effet., appliquous le the'oreme de Cauchy (47)Su
la separation des racines:en vertu de ce the'orerme, lFargurnent de z - x --- t u (z) devra -varier de 2-7r quand z
aura effectue' une revolution lc long du contour (A).
On a
arg [z-x ---- t~z)]-arg(z-x)A-+ arg (l- (i)
Orjle long d'nun contour contenant x,,arg (z - x) varie
d e 2,1r da ns uric revolution complete de z; I'argument
de i - ta(z), devra done. rester invariable. Or, Si P'on
z -x
pose
I tza(z) -i RvrFargumnenL de cette quantite' devieDnt
R SiD a
airc tang R