Théorie des résidus, par H. Laurent.

( 12! )
vant les puissances de sinx; voyons pour cela entre
quelles limites sin mx pent etre envisage comme fonction
synectique de sin x. Si l'on pose, pour simplifier,
sinxzt et sinmx-ry,
on a
(I) y sin m (arc sint);
or, arc sin t est synectique cuand t varie 'a Pinterieur d'un
cercle de rayon i decrit de l'origine comme centre, et
cesse de l'etre en dehors de ce cercle; il en sera de meme
de y, que 1'on pourra par consequent developper par la
formule de Mac-Laurin a l'interieur de ce cercle.
L'equation (i) donne,(2) DD Sin cos /m (arc sin t)
(2) Dy^ - -
ou bien, eliminant entre (i) et (2) la fonction m arc sint,
2 (-t2) (y )2= I;
diff6rentions encore, iI vient, en divisant par Dy et mulpliant par m2,
m2y - tDy + (I- t2)D)y = o;
diff6rentiant n fois cette equation, on a
m'2D'y - tDn"+y - nD -1- ( - t2)D"+2y - 2n/tD"-1-
- (n - x) D'y - o;
puis, faisant t o et reduisant, il vient
( 22 -n2) Dy = - Dny,
d'oi l'on conclut
mt m 2 1 12 (/ 2(2 - I2) (/ 32)
It 1- ii t2+3,/-+ t5,
I I,2.3 1.2,3.4.5