Théorie des résidus, par H. Laurent.

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et differentiant une fois cette equation,
-- x(I -- 2) '2Dy + (i - x.) D2y - o
O0
xDy =(I - x2)D2y.
Diff6rentions n fois les deux mernbres de cette derniere
equation, il vient
xDn+yt +n D"y =(I - 2) D"+y -2 nx Dn+ly — 2 - Dny;
1.2
en faisant x = O, on a
nD"y = D"+y - n(n - ) Dny,
ou enfin
Drt"+y n2 D'"y.
Faisant successivement n = i 2, 3,..., et observant que
pour x o, Dy est egal a i et D2y etgal a o, on trouve
D3y = i2, D5y -I2.3,.., D2"+ly - i. 32...(2n -I)2...
D y — o,,..., D2"y o....
Or, la fonction arc sinx est synectique a l'interieur d'un
cercle dont le rayon est i et le centre l'origine; on a
done a l'interieur de ce cercle
I X,3 1.3 x5 1. 3.5 x7
arc sinx =: x T + -- + - -
1.2 3 1.2.4 5 1.2.4.6 7
On trouverait de la neme mani6re et entre les memes
limites de x
i:t1.- \a i.3 x 1 i.3.5 x7
l(x~ V4:- ) x- -- 4- 4 — +.
1.2 3 1.2.4 5 2.4.6 7,2. I. 2: I,2. 2 4[ X
(arc sin) - -x) -2 - -- -
I 1.32 r.3.5 3

Proposons-nous maintenant de developper sinnix sui