Théorie des résidus, par H. Laurent.

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Mule de Mac-Laurin, abstraction faite de la fortne ge'nante
du reste.
Le beau tbe'ore'me que nous veunos de de~montrer -est
du. Cauchy:ce n'est pas le fleuron le momns brillant
de la glorieuse couronue sciefitifique de ce grand ge'o-.
ne'tre.
Corollaire I. -D'apre's ce que nious avons vu, le de6 -veloppement que nous venous de trouver est le seul de
cette forme; par consequent, ton tes les fois que la se'rie de
Mac-Laurin sera divergente' au point x, la fonctionf(.x)
nesera plus syniectique 'a Finte'rieur d'un cercie de'erit de
1'origine avec ox comine rayon.
83. Corollaire II. - De la formule de Mac-Laurin on
conclut celle de Taylor en. changeant f(x) en f (x -+- i);
on pent donic dire que si la fonctionf (z) reste synectique
it 1inte'rieur d'un~ cercle de'vrit du point x comme centre
avec, un rayon R, elle sera de'veloppable en se'rie par la
formule suivan te di te de Taylor
f'(xv+Ii) -f(x4 ) -J'(.~f(x) +...X
[.2
pour toutes les valeurs de ih dont le module est moindre
que R.
84. TiiJtoIEMENVII. - Les [ormules de Taylor et de M1acLaurin subsistent encore pour les fonctions de plusieurs
variables.
En effet, consid6rons la fonctionfx, x2, x3,..
synectique 'a I'inte'rieur des cercles Ci, C2,... de'crits de
1'origi-ne coinme centre; la foniction de t,
f Xt, IX2t, Ix3 t. 7
sera synecticlue 'a l'ntt'rieur d'Iuu cercie dc~crit die l'ori