Théorie des résidus, par H. Laurent.

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rieur de son cercie de convergence. Caucihy a de'inontre' cette
proposition direCteMent.'
78. TIIIonimME III. - Sil les deux series
sont egales le long d'un certain contour., si petit quc Con
voudra du reste, cites soft encore e'gales pour xc = o, et., par
consequent., on aura en general a,, b,
En effet, ces, deux series repre'sentent deux fonctions
synectiques "a l'inte'rieur de l'eur cercle de convergence:
or deux fonctions synectiques, egales dans une portion
finie quelconque du plan sont constamment e'gales (341)done 1'e'galite' des deux series a encore lieu pour x =o.
Cela pos6;- si oil les diff6rentie n fois tontes deux par la
regle indique'e (73). et si l'on falt en suite xc o, on
trouve
i.2 2. 3..na,, 1-i.2. 3.-..n
a,, -bfl. C.Q F. D.
79. TnPI~ORh ME IV. Une fonction synectique ne pent
pa?re ddveioppiie de dteux rnanie'res en serie ordonesi
vant les puissances entie'res et positives de sa variable.
D'abord, en vertu du the'ore'me precedent, 'a I inte'rieur
d'un rnieme contour on nie peut avoir qu'Iun s-eul develop-.pement possible; si l'on en trouvait deux, on pourrait
egaler les coefficients des me'mes puissances de cc, ce qui
fournit souveut des relations reumarquables etmme un
prcd ' de d 'monstratioun fr~qemmnt st. Cpncevons
alors, que I'on ait trouve' deux de'veloppements diff~rents,
mais 'a l'inte'rieur de contours difflirents (A) et (B.). Pour
une fonction quelconque la chiose est possible, nais pouir