Théorie des résidus, par H. Laurent.

( Hi )
Les deux membres de cette equation sont egaux, quel que
soit a; leurs limites sont done egales; mais les diffrents
termes du second membre sont des fonctions synectiques
de a dans le voisinage du point zero; on aura done sa
limite en faisant a = o, ce qui donne
- X2,n
lim (I 4- -- + 4- I x-. I +X -4- ---....
1.2 I.2...n
Le merme raisonnement conduit a 1'equation
lia I (Xa I ) X — X -I)2' (X —I)
lim - (x^- I ) - -x - 1)2 (x -- -.. vCC I1 2 3
75. COROLLAIRE 11. - Si le produit continu
(I ) *'1 (X.) 2( ).. C,. (X)...
est convergent pour touteses es valeurs de x comprises d linte'rieur d'un contour (A)., si pour les memes valeurs de x
les fonctions u,,^,... restent synectiques, le produit en
question representera une fonction synectique d l'interieur
de l'aire (A).
En effet, si nous designons par f(x) la valeur du produit continu (i), nous aurons
lf(x') T — (X) + z1, (X),... -+ Zl; () +......
Si au point x aucune des fonctions -., a,.... ne s'a nnule,
leurs logarithmes seront en ce point des fonctions synecliques, et, par suite, lf(x) et f(x) seront des fonctions,
synectiques de xA egalement.
Series ordonnees par rapport aux puissances croissantes
d'une m"me lettre.
76. THqtonRIME I. - Si la serie
( I); )i i,,,. X -- i.,'2 x -... * - + f X -' * -