Théorie des résidus, par H. Laurent.

syn~ectiques de x dans l'aire (A);f(x) es donc elle-m'in
u-ne fonctionisynectique de x. C. QF. D.
73. De tout ce qui pr'ce'de re'sulte le theorerne suivant',
-qu~e j'ai de'montr6, porla premni're fois, dan n th's
preseute 'a la Faculte- des Sciences de Nancy:
Si, x variant 4 l'int~rieur d'un contour (A), les /'onctions
qi (X), q2 (x),... restent synectiques, et la, s~rie
(z) ~ W1() -? X 47 4 i x
convergente:
10 La s~rie (i) aura pour valeur une fonction synectique
de x dans 1'aire (A);
2-0 La differentielle et 1l'inte~grale de cette f'onction., pour
tous les points interieurs' de I aire.(A), s'obtiendront en diffe —
rentiant et en inhigrant chaque terme de la s~rie (I), pourvu
que le contour d'intigration soit fini.
Nous verrons plus loin (91) que la se'rie convergente.sinl2x sin 3x sin nx
sin x- ~-A — -~ ~
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represente une fonction. discontinue; cependant tons ses
termes sont des fonctions synectiques de x: cela tient 'a ce
que cette se'rie n' est pas convergente pour les valeurs,
iraginaires de x. En un mot, elle n'est pas convergente
pour les points inte'ieurs 'a une aire; on ne pent douc pas
lui appliquer notre the'ore'me: du reste, qu~and'on'la diif-~
f6rentie, elle perd. sa convergence. Cet 'exemple nous,
inontre avec quelle prudence il faut ag'ir quand on diff&ren tie tons les- tertnes d'une se'rie pour obtenir la diff6rentielle de sa valeur.