Théorie des résidus, par H. Laurent.

( 07)
En effet, considerons la serie dont le terme gen6ral est
n(x) sin3 2r(t - n)
[27r(t-^n)
Cette serie, dont 'nous designerons la valeur parvt (x, t)
represente une fonction synectique de x danrs Faire (A) et
une fonction synectique de t dans toute 1'etendue dmt
plan, qui, pour t = I, 2, 3,..., n,..., se reduit a 1 (x),
2(X),.?.., (),.... L'equation (i) peut done s'ecrire
f(x) = (x, I) + + (, 2 )...+ + (x,.n) +...,
ou, ce qui revient au menine (51),
(2) J / (X) &1 (f(sint))
le residu devant etre pris a 1'interieur d'un contour ind —
fini enveloppant l'axe des x positifs, abstraction faite de
l'origine.
Ce contour pourra etre forme de la marniere suivante:
deux paralleles a l'axe des x a des distances 7,: et - no de
cet axe, et une parallele a l'axe des y menee a la distance
ko0de cet axe, ~0 designant un nombre compris entre o et i.
La formule (2) pourra alors s'ecrire
If(a)= — sin r (- - V/ I —:dn
(3') + - +(x, o — - )d
J 2 sin 7r (siv- - )
_ Oc _ _ +_ _ _ _ _- ___).
V - I sing 2( 0 +.u-I)
2 - i sinr (S -l-i - i)
La premiere des integrales qui entrent dans: cette formule est evidemmnent une fonction synectiqle de x,