Théorie des résidus, par H. Laurent.

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En effet, la serie (i) etant couvergente, la suivante le
sera aussi:
b,, bbt bo 7,
bo ~ -.2 a, +...-. a, -~ — - a,~+~ -F-..,
(1o no. o tLo
ce que l'on peut aussi elcrire
/b) a,, a 2n- 7
(3) bo + - - b. 4-o..t bo... +- +....
(to tl a o I in-l1 an, 2 0o
On voit alors que la serie (2) peut se mettre sous la
forme
b, b, b,0 0 b _ b,< b
o + o +. bn.. +. 0
or cette serie a, en vertu de notre hypothese, ses termes
respectivement moindres que ceux de la serie (3), qui
est convergente; done la serie (2) est elle-meme convergente. c.i Q. F. D.
62. I1 est facile de deduire de la le theoreme suivant
THNOREIME. - Si, dans une serie, le module du rapport
d'un terme au prdecdent finit par rester moindre que a < i,
cette serie est convergente.
En effet, considerons la serie
(I) 1t + U-... -, + ut + *,t4..;
soit
(2) ao - a,... a,, a,,-, -t.
la serie des modules de ses termes: si cette serie est convergente, la precedente le sera aussi. Or, supposer
<t7~41 0n42
an,, ano
cela revient a supposer le rapport d'un terme au precedent nmoindre que le rapport correspondant daits une pro