Théorie des résidus, par H. Laurent.

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d'apres ce que nous venons de voir tout a l'heure. I1 en
sera encore de meme d fortiori quand on aura rendu aux
termes des series (i) et (2) leurs signes respectifs. Par
consequent, si dans l'dgalite (3) nous supposons que n
augmente indefiniment, alors il vient, en passant aux.limites,
st = lim w,
ce qui demontre que le theoreme est encore applicable
dans le cas oui les series ne perdent pas leur convergence
quand on rend leurs termes respectifs.
3~ Considerons enfin le cas oui les series (i) et (2) seraient a termes imaginaireso Nous supposerons les series
des modules de leurs termes convergentes, et nous poserons en general
Un = pn (cosa, + \/- sin an)
Vn =qn (cos fn + /- I sin pn).
Alors, en vertu de ce que nous avons examine dans le
premier cas, la difference
0 0 0
0 P z0 - pq piqp - p2(q(tt-I + qn) +.
+p7 (qI + 2 * * + 4~.. )
aura pour limite zero; il en sera de mieme a fortiori de la
quantite
pi (cosa, -- + /-I sin a,) X q,, (cosa, -an- i sin a,, )
p2 (cosa2 +/-i- sinc2) [qn- (cos a,_l - sincan-) +-..
+............................................
qui n'est autre chose que uc I v - ziL (V,-_1 + i^,) -4....
L'galite (3), en passant aux limites, fournira donc