The theory of determinants in the historical order of development, by Sir Thomas Muir.

CONTINUANTS (GUNTHER, 1873)

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al a02 a3;
ao a, a. a32-a
ao a' Cl a32- 2
ao l a3a2-aC1
secondly, the element in the place (1, 3) is changed, the result being
aCL~ ~ ~a C3 2;
ao a1 a22- a3a1 a32- a2
ao a2a1 - aC3a a3a2 - a1
a2.(oO a3a1-ao
and lastly, the element in the place (2, 4), with the result
al a2
ao a1 a22-a a
* aO a2al - a3 (a22 - a31) (a3a - a1) - (aCa - ac3o) (a2 -C3)
a~a o (a3-2 3 ) -a)a~a)- ( ao) (a2-cO. ~ a2Co (aa2 - a3t1) (3a1 - nao) - C 2ao (a32 - c2)
3a.a2 (aC2 - a3c1)
It is thus seen that if the equation for solution be the quartic
x4+a3x3+a2x2+alx+ao = 0,
a convergent to the smallest root is, according to Firstenau,
-a0 c2 a3 1 al a2 a3 1
- C1 a^ 2 3 1^o 3 1 I2 3.* a2 "31 a a a0 a1 a23
a| a 3 a a0 a1 a2
(2 0 1 21
ao o ^! a ~ ao al
and therefore, by the preceding transformation, if we write U, V
for the two lengthiest elements, is equal to
-Co a2.. a1
a-aa a a o a1 a22-a 3a
ao C2a1- a3Cao. ao a2a, —cao U. a2a0 V *.. a2O V
and consequently
— aC0
a- -O ao (a22- aaL) aV
a2a1 — a3-G Vu
ffaic~-o- v