The theory of determinants in the historical order of development, by Sir Thomas Muir.

44

44HISTORY. OF THE THEORY OF -DETERMINANTS

alors, 'a la place de e'~quation (6) on obtiendrait la f ormule
jXL =sla/31
ou
(8) xI
dans laquelle il suffirait de poser Ia/3 1 = pour retrouver le'quation, (6).
ZRemarquons d'ailleurs que la seconde des formules (7) peut s'e'crire.
comnme il suit:
(9) ja/3 +j/aI= 0,
et que la f ormule (9) douneI a2 I=0 ou /3P2 1=0, quand on y
suppose/3 a. Done, et definitive, les transmutations (7) sont
toutes trois comprises dans la formule (9). Done il suffilt de recourir
cette formule et 'a celles qui s'en de'duisent, puobtenir lI~quation (5),
et, par suite, pour decomposer en facteurs symboliques la somme
alterne'e s, c'est-ah-dire la re'sultante alge'brique forme'e avec. les quatre
termes du tableau (1)."
From the case of the second order he proceeds at once to the
case of the nt" order, inquiring as before under what conditions
the symbolic product
*(a2a +b2 /3+ c2y+... ll
*(a3a +b.3/3 + c57+.. 63
*(an a + b10 4-cany + *. hn1),
where a, /3, y, *.,~ are n distinct 'algebraic keys,' reduces to
S(~4a b c3..h)
Denoting by IK the symbolic portion of any term of the final
product, he finds that
"Con devra poser
(14) K < = 0
quaud l'une quelcouque des lettres
a, /3, y,..,
entrera deux ou plusicurs fois comme facteur dans le produit K~; et
poser, an contraire,
(15 KC 1
ou

(16)

I K I = -I