The theory of determinants in the historical order of development, by Sir Thomas Muir.

DETERMINANTS IN GENERAL (GRASSMANN, 1844) 29
"Urn hiervon eine Idee Zn geben, will ich n G-leichunngen ersten
Grades mit n Unbekannten setzen, von der Form
aix, + ax2X1 +.. + a,,xrfl a0,
bIx1 + b2cv2 +...+ bnXn = b0,
Sin1 + S2X2 + + S,,IXgz =so
wo x1,..,xn die. Unbekannten seien. Hier k6nnen wir~ die Zahiencoefficienten, weiche verschiedenen Gleichungen angeh~5ren, sofern wir
diese Versehiedenheit an ilirem Begriff noch festhalten, als versehiedenartig ansehen, und. zwar alle als an sich versehiedenartig, d. h. als
unabhiingig in dem Sinne unserer Wissenschaft, die einer und derselben
Gleichung als unter sich in derselben Beziehnng gleichartig. Addiren
wir nun in diesem Sinne alle n Gleichungen und bezeichnen die Summe
des Versehiedenartigen in dem Sinne unserer Wissensehaft mit dem
VTerkniipfungszeichen -i-, indem die gleichen Stellen in den so gebildeten
Summenansdrficken immer dem Gleichartigen zukommen sollen, so
erhalten wir
(a, -i-b,1. -isj) x -I (a2 i-2-i...i2) X2. +.. (a,,4.b-i-.n.iSn,)x =n a0+
oder bezeichnen wir (a, -1- b, 4... 4 sj) mit p1,, und entsprechend die
lirigen Summen, so haben wir
P1X1 4. P2X2 4...+px. 1O
Ans dieser Gleichung, weiche die Stelle jener n Gleichungen vertritt,
lisst sich nun auf der Stelle jede der Unbekannten, z. B. x1 finden,
wenn wir die beiden Seiten mit dem husseren Produkte aus den
Coefficienten der iirigen Unbekaunten ijusserlich multipliciren, also
hier mit P2 P3.*-Pn~ -Da niimlich, wenn man die Glieder der linken
Seite einzeln multiplicirt, nach dem Begriff des diusseren Produktes,
alle Produkte wegfallen, welehe zwei gleiche Factoren enthalten, so
erhdilt man
iPIP2P3 B X1= POP2P3 P
Also da beide Produkte, als demselben System n-ter Stufe angehiirig
einander gleichartig sind, so hat man
PO P2P3 -Pn
The method is thus seen to consist in the deduction of a new
equation by addition, and in the elimination of all the unknowns,
except one, from the equation, by multiplying both sides by the
product of the coefficients of the other unknowns,- the multiplication in question being " outer,". and for the purposes of the