The theory of determinants in the historical order of development, by Sir Thomas Muir.

256 HISTORY OF' THE THEORY OF DETERMINANTS

s'obtient en donnant 'a r, s les valeurs 1, 3,..., n; et ainsi de suite;
cela est aise' de voir si l'on range les quantite's kr, en forme de
earr6."
At this point a 'digression is made in order to establish a
theorem regarding skew determinants of odd order, and another'
regarding skew determinants of even order, and thus be enabled
to make certain snbstitutions for the Q's in the development
here annonnced. Further, as the said substitutions for the Q2's
of even order involve the functions dealt with by Jacobi in
his paper on the " Pfaffsche Methode,"-functions which Cayley
here calls " les fonctions de M. Jacobi," but which at a later
date he designated " Pfatfflans,"-the digression is lengthened
by having prefixed to it an account of these functions.
So curious is this account and so likely to be misrepresented
by condensation, that the best way of treating it is to reproduce
it in the original words.* It stands thns:
" On obtient ces fonctions (dont je reprends ici la the'orie) par les
proprikt's ge'n~rales d'un determinant de'fini. Car en exprimant par
(1, 2,..., n) une fonction quelconque dans laquelle entrent les
nombres symboliques 1, 2,...,n, et par ~ le signe correspondant
n ne permutation quelconque de ces nombres, la fonction
oil de'signe la somme de tons les termes quont obtient en permutant
cees nombres d'une manietre quelconque est cc qu'on nomme Ddlerminanl.
On pourrait encore ge'neraliser cette diefinition en admettant plusicurs
syste'mes de nombres 1, 2.-.., n; 1', 2'..., n';... qui alors devroient
eftre permute's independamment les uns des autres; on obtiendrait de
cette maniebre une infinit6' d'autres fonctions, mentionne'es (T. xxx. p. 7).
Dans le cas des ddtermiuants ordinaires, auquel j e ne m'arr~terai pas
ici, on anra (1, 2... n) = AajXo,2... X,11 Pour les cas des fonctions
dont il s'agit (les fonctions de M. Jacobi), on supposera n pair, et l'on
~erira
(1 2...n)= xi, X3,4.. n
oii Xr, sont des quantite's quelconques qui satisfont aux 'quations (1).
La fonction sera compose'e d'un nombre 1. 2... n de termes; mais
parmi eux il n'y aura que 1. 3...(nz - 1) termes diff~rents qui se
trouveront re'pete's 2 2" (1I. 2.. n) fois, et qu'on obtiendra en permutant cycliquement d'abord les n -— l1 derniers nombres, puis les
I The paper, as it appears in Crelle's Journal, is disfigured by misprints, which
lhave not been fully corrected in the Collected Afath. Papers.