Problèmes de géométrie élémentaire groupés d'après les méthodes à employer pour leur résolution, par Ivan Alexandroff. Traduit du russe, sur la sixiéme éd. par D. Aitoff.

30

PROBLEMES DE GEOMETRIE ELEMENTAIRE

rayon est e'gal a la distance dcl centre t iun des points jouissant
de cette propriete (II, 79; fig. 34).
VII1. - Le lieu geometrique des points extremites des tangentes de
longueur donnee a a une circonference de rayon donne r est ne circonference concentrique a la premiere et dont le rayon est \/a2 + r2
(II, 80; fig. 35).
IX. - Le lieu geome'trique des sommets des triangles e'quivalents
a un trianygle cdonn ABC et ayant avec lui une base commune AC
se compose de deeux droites paralleles a la base et situees a la
distance egale a la hauteur BD du triangle ABC.
Ce theoreme n'est, en realite, qu'un corollaire du lieu geometrique III, mais il a, sous cette forme, beaucoup d'applications.
X. - Le lieu geometriqzue des points dont les carres des
distances c, deux points donnes A et B ont une somme constante a'
est une circonference de cercle qui a son centre au milieuc de la
droite qui joint les deiux points.
Soit M un des points jouissant de cette propriete et, par consequent, AM2 + MB-a 2. Construisonsun parallelogramme AMBN;
nous aurons alors:
2AM2 +- 2IB2 AB2 + MN2, ou 2a2 = AB2 + MN2.
Designant par b la longueur AB, nous pourrons ecrire:
MN /2a-a b2
2 2
On en conclut que M est sur une circonf6rence dont le centre est
Y/2a2 b2
au milieu dela droite AB et dontle rayon est egal a /2a/2a2 - b'
Pour construire la formule 2- decrivons, sur une portion de droite de longuenur a, une demi-circonference. Soient c et d
les distances d'un point quelconque de cette circonference aux
extremit6s du diametre. Des points A et B comme centres avec c
et d comme rayons, d6crivons des arcs de cercle. De l'intersection C de ces arcs menons une droite au milieu O de AB. La
droite OC sera le rayon demande (III, 19).