Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

90 Projektivische (neuere) Geometrie. III. Teil.
Mit entgegengesetzten Vorzeichen entsteht ebenso auf A2 B2:
092 A2= 00 B2 02 Ä2 02 B2
02 C2 = DS 02 1)2 2: 02 C'
bezw.
OS A2 - 02 C2 B 2 02) 2 AD - O A 2 D2 02 B2 + 02 C2
Ag C. - BD D, AD2 D 2 B.2 C
Erkl. 162. Der erste Teil des Satzes 19 war scllon gefunden worden auf
Grund metrischer Beziehungen zwischen den auf den Asymptoteni liegenden projektiviscli verwandten Punktreihen im Satze 22 des II. Teiles dieses Lehrbuches.
Dazu bildet nun der zweite Teil des vorstehenden Satzes 19 die Ergäilnzung. Beides
ist aber an der vorliegenden Stelle nicht durcl Rechnung gefunden worden2, sondern
nur durch rein projektivisehe Betrachtung, wobei die einzige Anlehnlng an die
iMaßgeometrie darin beruht, ldaß der einem unendlich fern liegenlden Punkte zugeordnete vierte harmonische Punkt als M ittelpu nkt der beiden anderen zugeordneten Punkte bezeichnet wird. Ebenso wie im zweiten Teile (lieses Lehrbuchles
aus den Maßbeziehungen der Asymptoten sonstige metrische Eigenschaften der
Hyperbel abgeleitet wnerdei, z. B. die Gleichung der Hyperbel in der Behandlungsweise der analytischen Geometrie, können also an der vorliegenlden Stelle Untersuchulngen gleichler Art angeknipft und Verbindungswege zwischen den verschiedenen
Auffassungsarten der Kurve zweiten Grades hergestellt werden. Endlich kann auch
der zweite Teil des Satzes 19 geradeso wie der erste dazu benutzt werden, um
maßgeometrische Konstruktionsmethodenl der Hyperbel abzuleiten. Vergleiche die
Aufgaben 106, 109, 113, 114 der Aufgabensammlung'i am Schlusse dieses Teiles.
d) Axen der Kurven.
Frage 46o Kann die schiefe
Symmetrie der Kurven zu ihren Antwort. 1) Nach Satz 16 beDurchmessern auch zur senkrechten steht die schiefe Symmetrie der
Symmetrie werden? Kurven zweiten Grades darin, daß
jeder von zwei konjugierten
Erkl. 163. Nach Erkl. 145 durch- Durchmessern die zum anderen
läuft der Peripheriewinkel ABC (Fig. 33 parallelen Sehnen halbiert. Wenn
und 34) beim Umlauf des Punktes B sich also zwei konjugierte Durchdurch den Kurvenbogen AC lauter ver- mnesser finden lassen, welche aufschiedene Werte. Es fragt sich also, einand er senkrecht stehen, so
ob etwa unter allen diesen auch einmal ist jeder die Mittelsenkre hte
ein rechter Winkel ist. Dieser wird der zum anderen parallelen Kurvendann die senkrechten konjugierten Durch- sehnen, und man hat den Fall der
messer oder Axen liefern. Es fragt sich a x i a 1 e n S y mm e t rie iei engeren
dann weiter, ob etwa jeder verschieden Sinne. Nun ist nach Antwort 2
gewählte Durchmesser zum g 1 ei ech en der Frage 43 bezw. Satz 17 jedesPaar von Axen führt, oder ob durch Aus- mal ein N eigungswinkel zweier
gehen von verschiedenen Durchmessern ver- k o n j ugi ert e n D urchmesser anschiedene Axenpaare entstehen könnten. gegeben durch den Winkel zweier
Letztere Frage ist aber bereits erledigt Kurvensehnen, welche von einem
durch den Nachweis in Erkl. 149, daß beliebigen Punkte der Kurvenbei dem genannten Umlauf des Punktes peripherie nach den Endpunkten
B durch den Kurvenbogen AC alle an eines beliebigen Durchmessers