Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

86 Projektivische (neuere) Geometrie. III. Teil.
und Lage der Winkel zweier konjugierten Punkte, folglich gibt es zu demDurchmesser ihre Bedeutung. Was aber selben zwei parallele Tangenten,
auch bei der Parabel bestehen bleibt, deren Berührungssehne den konjuist die Winkelbeziehung zwischen den gi e r t e n D u r h m e s s e r liefert.
Kurvendurchmessern und den Kurven- Letzterer trifft also beide Äste der
tangenten in deren Kurvenpunkten. Dieser Hyperbel, und daher hat auch
Winkel nimmt bei Durchlaufung des wieder jeder nichtschneidende
Parabelbogens ebenfalls verschiedene Durchmiesser als konjugierten
Werte an, und die Untersuchungen bei einen sc hneiden de n. In deri
Ellipse und Hyperbel über die Winkel Tat liegt der Kurvenmittelpunkt
konjugierter Durchmlesserpaare beziehen als erste Ecke des Polardreiecks
sich bei der Parabel auf den Winkel der konjugierten Durchmesser
ihrer Tangenten mit dem Durchmlesser des au i e r h a b der Kurve, folglich
Beriihrungspunktes. Jeder Durchmesser muß von den auf der unendlich
der Parabel bleibt Axe einer Art schiefer fernen Geraden liegenden beiden
Symmetrie, und deren Richtung wird anderen Eckpunkten desselben der
nicht durch einen geometrischen Durch- eine auf der inneren, der andere
messer sondern bloß durch die Tangenten- auf der äußeren Strecke der unrichtung alngegeben. endlich fernen Geraden liegen. -
Eine Hyperb elasynmptote endlich
EXrkl. 155. Bei der,Ellipse konnite
Er l 155. Be der Ell e k e ist zugleich Kurvendurclimesser und
zur Herstellung des konjug'ierten Durohz estelln s konigierten K Krventangeente; ihr Pol ist also
messers zu einem gegebenen verwendet Ber r spunkt, u
b. ihr eigener Berührungspunkt, und
werden 1) eine zum gegebenen Durch-, ~, &ö. cdessen Verbindungsgerade mit dem.
messer parallele Sehne, 2) eine zum ge- Mittelpunkt nämlieh der zur
gebenen Durchmesser parallele angente, syptote ko giete Durches
- t 7 AsyniptotekonjugierteDurchmesser,
3) eine Tangente im Kurvenschnittpunkt dier sy ptot
tn fällt mi;t eben dieser Asymiptote
des gegebenen Durchessers. Bei der Und nach den
selber zusa Ymmen. Und nach den
Hyperbel bleibt der eriste Weg, nämlich Ergebnissen der Antwort 33 bezw.
die Verwendung der Parallelsekanten Erklär 119 mssen zu den
beiderlei Durchmesser erhalten; von den Asymptoten als Krventangente
zwei anderen Mitteln aber erlaubt der ttelunt au e e
aus deml Mittelpunkt auch je zwei
hneidende Duchmesser nu das konjugierte Durehmesser der Hydritte anzuwenden, nimlich die Tangenten harge (vgl.
2 b perbel harmonisch liegen (vgl.
in seinen Kurvensehnittpunkten, der die olgende Antwort 45).
n i c h t s c h n e i d e n d e Durchmesser nur
das zweite, n,ämlich der parallelen Tangenten. Demnach ist aber bei der Hyperbel ein Sehnen- und Tangentenparalleloglramm von der in Figour 35 und Erklärung 148 ftilt die Ellipse vorgestellten Art
nicht mö g lichl. Denn da von zwei konjugierten Hyperbeldurchmessern nur der
eine ein schneidender sein kann, so kann nie ein Sehnenparallelogrammn der Hyperbel
als Diagonalen zwei konjugierte Durchmesser erhalten. Dasselbe geht auch aus
der Ausführung in Erklärung 153 hervor, denn in der Figur 35 bilden die beiden
Durchmesserpaare vier harmonische Geraden; bei der Hyperbel aber kann diese
Lagebeziehung zwischen zwei konjugierten Durchmesserpaaren nie eintreten, da ja
nach Erklärung 153 jedes konjugierte Durchmesserpaar der Hyperbel nicht in den
getrennten, sondern in den gleichen Winkelrätumen eines anderen Paares liegen muß.
Frage 45. Welche Eigenschaften
der Hyperbel ergeben sich aus der Antw0ort. 1) Um die Stellung
Stellung der Asymptoten unter den der Asymptoten unter den konkonjugierten Durchm1essern? jugierten Durchmessern im be