Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

üiber die Mittelpnnktseigenschaften der Kurven zweiten Grades. 85
Beobachtung der Umdrehungsrichtungen Tangenten, also kein Tangentenfolgenden Unterselied: parallelogranmm besitzt. Vielmehr
Die unendlich fernen Punkte der Tan- ist jede Tangente parallel zur nngenten in A, B, C (Fig. 36) durchlaufen endlich fernen Geraden, wobei
die unendlich ferne Gerade im Umlauf- letztere als Kurventangente aufsinne mit dcem Uhrzeiger, die Yerbin- gefaßt wird. Andererseits könnte
dungsgeraden JA, JB, J C drehen sich man die unendlich ferne Gerade, da sie
ebenfalls mit dem Uhrzeiger, die Ver- auch durch den Parabelmittelpunkt
bindungsgeraden K A, K B, K(C dagegen geht, als einen Parabeldurchmesser
drehen sich gegen den Uhrzeiger. Daher auffassen und sie dann jedem anhaben die Kurvensekanten des inneren deren Parabeldurchmesser als konPunktes die gleiehe die iKurven- jngierten zugesellen. Das Polarsekanten des ilußeeren Punktes dagegen dreieck derselben schrumpft dann
die entgegengesetzte Umilaufsrichtung so zusammen, daß in die unendlich
wie die Tangenten der von diesen Se- ferne Gerade selber zwei Seiten deskanten getroffenen Kurvenpunkte. 'Nun selben hineinfallen.
hat für die Ellipse der Mittelpunkt die 3) Für die Hyperbel ist der
Lage des Punktes J, für die Hyperbel Mittelpunkt ein äußerer Punkt,
die Lage des Punktes K; und die Pa- folglich gibt es bei der Hyperbel
rallelen durch J bezw. K zu deln Tani- dreierlei Durchmesser, nämlich
genten in AB C geben die Richtungen je beliebig viele schneidende und
der zu den Durchmessern JA, JB, JC nichtschneidende, und zwei bebezw. KA, KB, KC konjugierten Durch- rüihrende. Die beiden letzteren sind
messer an. Demnach erkennt -man schon die Asyiuptoten der Hyperbel:
aus der Lage des Mittelpulnktes zur sie trennen die sämtlichen schneiKurve, daß bei der Ellipse der Drehung cdenden Durchmesser (innen und
eines Durchmessers auch die gleich - außen) von säitlichen nichtgerichtete Drehung eines konjugierten schneidenden Durchmessern. Ein
entspricht, bei der Hyperbel dageg'enl schneidender Durchmesser hat
die entgegengesetzte Drehungll des seinen Pol außerhalb der Kurve
konjugierten. Es wird also ein zweites und trifft die unendlich ferne Gerade
konjugiertes Durchmesserpaar J B, J / bei in einem Punkte innerh alb der
der Ellipse zu eineml ersten Paar JA, J a Kurve, folglich gibt es zu demselben
in getrennten Wilnkelriäumii en liegen, keine parallelen Tangenten,
d. i. JB im Innenwinkel ron J A Jj, J deren Beriiührungssehne den konjuund J/i' im Nebenwinkel. Bei der Hy- gierten Durchmesser liefern könnte.
p erbe l dagegen liegt ein zweites kon- Wohl aber gehen durch die Kurvenjugiertes Durchmlesserpaar K B1, K / ill schnittpunkte des Durchmessers
gleichen Winkelraume des ersten Paares zwei parallele Tangenten, welche
K A, K u - beide im Innenwinkel oder die Richtung des k o n j u g i e r t e n
beide im Nebenwinkel. D u r c h n es s e r s bestimmen. Letzterer geht also durch einen außerErkl. 154. Bei der Parabel ver- halb der Hyperbel liegenden
sagen alle vorstehenden Erwägungen, Punkt der unendlich fernenGeraden,
denn der Mittelpunkt liegt uniendlich fern, und folglich hat jeder schneidende
wüiide also in Figur 36 mit J unendlich Durchmesser als konjugierten
weit nach rechts, oder mit K unendlich e i nen n i h t schneidenden.
weit nach links ibereinstimmen kölnnen. Umgekehrt hat ein ni c h t sch e iEs ist eben die unendlich ferne Gerade dender Durchmesser seinen Pol
selber als konjugierter Durchmesser zu innerhalb der Kurve und trifft
jedem anderen aufzufassen, und daher die unendlich fernle Gerade in einem
verlieren die Anlgaben iber die GIröße außerhalb der Hyperbel liegenden