Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

84 Projektivische (neuere) Geometrie. III. Teil.
Erkl. 152. Auf jedem Ellipsen- zunnächst der engste Zusanmmlenhang
durchmesser gibt es unendlich viele zwischen den Eigenschaften der
Punkte ininerhalb der Kurve, une.ndlich Durchmesser der dreierlei Kurven
viele Punkte außerhalb der Kurve und iiberhaupt und jenen des Kurvenzwei Punkte auf der Kurve, die miittelpunktes, welche in Antwort 38
beide im Endlichen liegen. erörtert wurden. Dazu gesellen sich
Auf jedem Parabeldcurchmesser dann noch die besonderen Eigengibt es unendlich viele Punkte in n e r- tüuilichkeiten der k o n j u g i e r t e n
halb der Kurve, unendlich viele Punkte Durchm esser.
außerhalb der Kurve und zwei Plunkte 1) Für die Ellipse ist der
auf der Kurve, deren einer im Endc- Mittelpunkt ein Punkt innerlichen, deren anderer im Unelndlichen liegt. hallb der Kurve, also sind sämitAuf einem schneidende Hyperbel- liehe Durchmesser Sekanten der
durchmesser gibt es (ebenso wie auf Kurve und treffen dieselbe in zwei
jedem Ellipsendurchmesser) unendlich Punkten. Dieselbe Eigenschaft
viele Punkte innerhalb cder Kurve, un- kommt also auch unterschiedslos
endlich viele Punkte außerhalb der je zwei konjugierten DurchKurve und zwei Punkte auf der inessern der Ellipse zu; und zu
Kurve, die beide ima Endlichen liegen. einem beliebigen Durchmesser p
Auf einem nichtschneidenden Hy- (Fig. 33) kann man den konjugierten
perbeldurchmesser gibt es bloß unend- q finden entweder durch Halbierung
lich viele Punkte a uß e rhalb der Kurve, einer zu p parallelen Sekante AB,
k ein e innerhalb und keine auf der oder durch ein sich auf p schneidenKurve. des Tangentenpaar b, c mit seinen
Auf einer Hyperbelasymptote gibt Paralleltangenten a, d. Das von
es unendlich viele Punkte außerhalb dem konjugierten Durchmesser mit
der Kurve, keine Punkte innerhalb der der unendlich fernen Geraden geKurve und einen Punkt auf der Kurve, bildete Polardreie ck hat eine
welcher unendlich fern liegt. Ecke, nämlich den Kurvenmittelpunkt, innerhalb der Kurve, die
IQ2 / zwei anderen Ecken auf dessen
c l13 /TPolare, nämlich der unendlich
fernen Geraden, also außerhalb der
/Kurve.
r /c - 2) Für die Parabel ist der
/ - /yT -''' \ /,telpuMittelpunkt der unendlich ferne
-f/ " \ K/ iKurvenpunkt, in welchem die
- " B..... —/7. f" yParabel die unendlich ferne Gerade
ff''K <1 l - berihrt; dorthin laufen also sämtliehe Parabeldurchmesser. Ebent4I~ A ~dahin läuft aber aueh jede ParallelFig. 36. sehne zu einem beliebigen Durchmresser: d. h. jede Parallele zu
Erkl. 153. Denkt man sich (Fig. 36) einem Durchmesser ist selbst ein
irgend einen Kurvenbogen einer Kurve Durchmesser, kann also nicht im
zweiten Grades in beliebiger Richtung Endlichen halbiert werden. Daher
A-B-C durchlaufen, und in jedem besitzt die Parabel keine einseiner Punkte die Tangente gezogen geschriebenenParallelogramme, also
und je eine Verbindungsgerade einerseits im eigentlichen Sinne auch keine
nach einem Punkte J auf der Innenseite, konjugierten Durchmesser. Das
andererseits nach einem Punkte K auf letztere folgt auch aus der Tatsache,
der Außenseite des Bogens, so zeigt die daß die Parabel keine parallelen