Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

Über die Mittelpunktseigenschaften der Kurven zweiten Grades. 83
dem Umlauf der Tangente in Erkliärung 147 nach Lage und Größe genau dieselben Lagen und gleichen Größein der Winkel zwischen Durchmesser und
Tangente auf, und zw~ir jedesmal sänmtliche am Kurvenbogen A BC iiberhaupt
vorkommenden Winkel. Das sind aber aueh sämtliche Winkelgrößen des Winkels
zwischen Tangente und Durchmesser an der ganzen Kurve überhaupt: denn einerseits
sind die Tangenten an den beiden Endpunkten eines Durehmessers AB parallel,
bilden also auf jeder Seite gleiche Winkel; andererseits gehört zu jeder Tangente b
eine parallele Tangente, deren Berührungspunkt der zweite Endpunkt desselben
Durchmessers ist, so daß auch lier gleiche Winkel entstehen. Man erhält daher
saämtliehe an einer Kurve auftretenden Winkel zwischen Durchmesser und Tangente,
wenn man einen iKurvenpunkt oder eine Tangente den Umlauf von einem Endpunkt
eines Durchmessers zum andern 1nachen läßt.
Erkl. 150. In den Figuren 33 und 34 ist a b c d ein der Kurve umges ci riebenes Vierseit, und p und q bilden mit der unendlich fernen Geraden das
Dreiseit der Nebenseiten dazu, also ein Polardreiseit der Kurve; ebenso ist AB CD
in den Figuren 33 und 34 jeweils ein der Kurve eingeschriebenes Viereck,
und die Schnittpunkte von p und q mit der unendlich fernen Geraden sind zugleich
die Schnittpunkte der Gegenseiten dieses Vierecks, bilden also mit M zusammen
das Dreieck der Nebenecken und folglich wieder ein Pol ardreieck der Kurve.
Daher lassen sich in Bezug auf die Figuren 33 und 34 dieselben Erörterungen
anstellen, welche in den Antworten der Fragen 26 bis 31 üiber das Polardreieck
durchgeführt sind; - dabei muß nu berüiicksichtigt werden, daß anstelle der einen
Seite des Polardreiecks der Figur 19 die unendlich ferne Gerade eintreten muß.
Insbesondere erhält man bei Figur 35 den Einzelfall der Figur 21, indem nach
Erklärung 148 sowohl p und q als auch AC und B D je ein Paar konjugierte
Durchmesser bilden. Es müissen daher in Figuren 33 und 34 schon die in Figur 19
angegebenen, in Figur 35 sogar die in Figur 21 angegebenen Besonderheiten der
gegenseitigen Lage bestimmter Punkte und Geraden auftreten. Vergl. Erkl. 112.
Erkl. 151. Der obenstehende. Satz 17 gibt bestimmte Eigenschaften fiir die
Mittelparallelen von Sehnenparallelogrammlen und für die Diagonalen von Tangentenparallelogranmmen, aber keine bestimmten Aussag'en über Mittelparallelen von
Tangentenparallelogrammen oder Diagonalen von Sehn enparallelogrammen. In der
Tat sind die Geraden der beiden letztgenannten Arten wvollständcig willktirlich
und keinerlei (Gesetzmnäßigkeit unterworfen, wohl aber diejenigen der ersteren Art.
Man kann zwei ganz beliebige Durchmesser der Kurve als Mittelparallelen
eines Tanigenteinparallelogrammi s wälilen, d. h. man kann zu einem parallelen
Tangentenpaar jedes belieb ige z w e it e P a ar zur Bildung eines Tangentenparallelogrammis hinzunehmenm, - man kann aber durchaus nicht zwei beliebig
gerwählte Durchmesser als D ia g o nal e ii eines Tangentenparallelogramms verwenden,
sondern nur zwei k o n j ugiei te tD ur chm e sser. Ebenso kann man zwei ganz
beliebige Durchmesser der Kurve als Diagonalen eines Selnenparallelogramms
verwenden, denn jedes beliebige Durchmesserpaar bestimmt auf der Kurve die Ecken
eines eingeschriebenen Parallelogramms, man kann aber durchaus nicht zwei
b eli e big gewährllte Durchmesser als M ittelparallele n eines Sehnenparallelogramms
nehmen, sondern nur zwei k onjugierte Durchmesser.
Frage 44. Welche Besonderheiten
zeigen die konjugiertenDurchmesser Antwiort. Da die Kurvendurchbei den drei Gattungen der Kurven miesser alle durch den Kurvenzweiten Grades? mittelpunkt gehen, so besteht