Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

70 Projektivische (neuere) Geometrie. III. Teil.
äußerer Punkt, folglich gibt es durch Tangenten an dieselbe, nämlich
denselben nicht nur Geraden, welche die die Asymptoten; und die BeKurve, nämlich die beiden Äste, schnei- rührungssehne derselben ist eben.
den, sondern auch Geraden, welche die die unendlieh ferne Gerade, denn
Kurve iberhaupt nicht treffen, und für jeden Punkt außerhalb einer
dazu zwei Tangenten an die Kurve, Kurve ist die Polare die Berührungsnämlich die Asymptoten. sehne seiner Kurventangenten.
Erkl. 130. Wenn man zur Unterstiitzung der Vorstellung Maßbeziehungeit
zu Hilfe nehmen will, so kann man sich denl Übergang von Ellipse durch Parabel
zu Hyperbel in der Weise vorstellen, daß etwa ein Scheitel der Ellipse samt
seineml Brennpunkt und der zugehörigen Leitgeraden festgehalten wird, und alle
anderen Elemente gegen die Unendlichkeit hin fortgeschoben werden. Bei dieser
allerdings nur als Hilfsmittel aufzufassenden, aber keineswegs als strenge Durchfüihrung anzusehencen Entwicklung rücken in stets zunehmende Entfernung hinaus:
erstens der entgegengesetzte Scheitel der Kurve, zweitens der jenseitige Brennpunkt samt seiner Leitlinie, drittens der Mittelpunkt. Ist aber der veränderliche
Scheitel wirklich bis in die Unendlichkeit hinausgertickt, so hat jener Kurvenastbogen
die Gestalt einer unendlich lang gestreckten Ellipse angenommen, er wird von der
unendlich fernen Geraden berlihrt, und die ganze Kurve ist zur Parabel geworden.
Dabei sind ins Unendliche gerückt der Scheitel der Kurve als Beriihrungspunkt der
unendlich fernen Geraden, und in denselben Berührungspunkt sind hineingeriückt
sowohl der eine Brennpunkt, als auch der Mittelpunkt der Kurve, während die
unendlich ferne Gerade zugleich Scheiteltangente und Leitlinie gew.orden ist. Beim
Weiterschreiten von dieser Vorstellung aus kann als Beispiel dienen eine gerade
Linie, welche als Kreis mit unendlich großem Radius anzusehen ist, und den Zusammenhang ihrer Enden zur geschlossenen Kurve durch die eine oder andere, die
diesseitige oder jenseitige Hälfte der unendlich fernen Geraden ergäinzen kanni
Ebenso kann der Bertihrungspnnkt samt Scheiteltangente der Parabel in der einen
oder anderen Richtung ins Unendliche gedacht werden, und der Übergang zur Hyperbel
geschieht, indem man den Wechsel vollzieht von der einen zur anderen Sehriclhtung'
nach derselben unendlich fernen Lage. Dabei findet eine Art Überholung der
Punkte statt, indem nunmehr beim Wiederhereinkommen der Elelente aus der
Unendlichkeit von der entgegengesetzten Seite her der Mittelpunkt der Leitlinie,
deln Scheitelpunkt und dem Brennpunkt vorangeht. Denn der veränderliche Scheitelpunkt überschreitet die unendlich ferne Gerade, der Kurvenbogen schneidet die
unendlich ferne Gerade in zwei Punkten beiderseits des vorigen BerühruLngspunktes,
und die Kurventangenten in diesen beiden Punkten, die Asymlptoten, treffen einander
in einem dem Scheitelpunkte voraneilenden Punkte, dem Mittelpunkte - einerlei
ob man diese Tangenten in der einen oder anderen Richtung aus ihrem unendlich
fernen Bertihrungspunkte ins Endliche hereingezogen denkt. Der Brennpunkt aberl
welcher im Zustande der Überschreitung der unendlich fernen Geraden zugleich
mit dem Scheitelpunkt auf die unendlich ferne Tangente und Leitlinie gefallen war,
bleibt wieder hinter dem Scheitelpunkt zuriick und läßt daher auch seine Leitgerade
wieder vor dem Scheitel vorangehen. So rücken nunmehr aus dem Unendlichen
von entgegengesetzter Seite der urspringlichen Kurveinwölbung herein: erst der
Mittelpunkt, dann die Leitlinie, dann der Kurvenscheitel des zweiten Astes und
endlich dessen Brennpunkt. Und die beiden Kurvenäste wenden einander gewissermaßen die Riickenwölbungen zu, indem sie zwischen sich den Mittelpunkt haben,
der auf jeder durch ihn gelegten Sekante den Abstand der beiden Schnittpunkte
mit beiden Aesten halbiert.: -;'