Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

Über die Mittelpunktseigensehaften der Kurven zweiten Grades. 69
und 27 die Verhälltnisse fir Ellipse und Derselbe ist zugleich gemeinsamer
Hyperbel. Dabei sind die Mittel- Mittelpunkt jedes der Kurve
parallelen der Parallelogramlme (;' der umgeschriebenen oder eingeAntwort 36, 1 und 5, 6 der Figuren sehriebenen Parallelogranmms,
4 und 5) als selbstverständliche Geraden sowie aller Berührungssehnen
durecl M nicht eingezeichnet. Der Fall pa paralleler Tan gentenpaare;
der vorigen Antwortat kann nur bei der Hy- und er ist der Schnittpunkt der
p erb e zutreffend werden denn nur diese Asymptoten bei der Hyperbel.
wird von der unendlieh fernen Geraden
iiberhaupt geschnitten. Und die Tangenten
in ihren unendlich fernen Kurvelnpunkten
sind als Asymptoten benannt. (Antwort
der Frage 39 des 2. Teils.)
Frage 38. Welche Lagebeziehung besitzt der Mittelpunkt Antworte Da der Kurvenmittelbei jeder der drei Kurven- punkt der Pol der unendlich
gattungen? fernen Geraden ist, so muiß die
Erkl. 128. Daß die Parabel keinen Lage desselben bestimmt werden je
e i g entli en M itt e 1 p n k t haben nach der Lagebeziehung der unendkann, gehlt auch daraus hervor, daß lieh fernen Geraden zur Kurve:
bei ihr keine zwei Sehnen einander 1) Für die Ellipse ist die unhalbieren k(iönnen. Denn denkt man endlilc ferne Gerade eine ganz
sich durcch irgend einen Punkt 0 der Ebene außerhalb der Kurve verlaufende
zwei Sekanten einer beliebigen Kurve, Gerade; folglich muß deren Pol ein
welche diesen Punkt 0 als gemein- innerer Punkt sein. In der Tat
samen Mittelpunkt hlitten, so müßte liegt der Ellipsenmittelpunkt im
jeweils der vierte harmonische Punkt zu Innern der Ellipse, kann also auch
0 undl den Kurvenschnittpunkten im Un- z.B. keine Tangenten an die Kurven
endlichen liegen, also mißte die iunendlich aussenden.
ferne Gerade die Polare dieses Punktes 2) Für die Parabel ist die unsein. Dies trifft zu bei der Ellipse, wo die endlieh ferne Gerade eine Tangente
unendlich ferne Gerade außlerhalb lder c er n Kurve; folglich e muß deren
Kurve liegt, und bei der Hyperbel, wo Pol auf dler Kurve selber imn B edieselbe die Kurve schneidet, nicht aber rii h r u n g s p u n k t liegen. Dieser
bei der Parabel, welche von der unendlich Beriihrungspunkt der Parabel
fernen Geraden berührt wird. it der unendlich fernen
Erklo 129. Die Eigentümilichkeit, daß Tan g e n t e ist also der Mittelder Mittelpunkt bei der Hypeibel punkt der Parabel, d. h. die
außerhalb der Kurve liegt, findet außer Parabel besitzt keinen Mittelpunkt
der Lagebeziehung der iunendlich fernen im Endlichen, alle nach ihrem
Geradcen als Polaren auchl fiirs Auge Mittelpunkt gehenden Geraden
darin ihre Erklärung, daß die beiden laufen parallel.
H-älften jeder Sekante durch den Mittel- 3) Fir die Hyperbel ist die unpunkt nach den beiden getrennten endlich ferne Gerade eine Sekante,
Aesten hilngehen. Wä,ihrend es aber bei da die Hyperbel zwei Punkte mit
der Ellipse iiberhaupt keine Geraden der unendlich fernen Geraden gedurclh den Mittelpunkt gibt, welcle die meinsan hat; folglich muß deren
Kurve niclt treffeni, weil ja der Mittel- Polpunkt ein Pu n k t auß er -
punkt im Innern der Kurve liegt, so halb der Kurve sein. Es gehen
ist bei der Hyperbel der Mittelpunkt ein vom Mittelpunkt der Hyperbel zwei