Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

Über die Mittelpunktseigenschaften der Kurven zweiten Grades. 67
2. Ueber die Mittelpunktseigenschaften der (urven zweiten [Grades.
a) Der Kurvenmittelpunkt.
Frage 35. Wie gelangt man in
der projektivischenGeometrie zu den Antwort. Obgleich die projekMaßbeziehungen der Kurven? tivische Geometrie an sich vollkommen absieht von der UnterErkl. 124. Auch die strengste Durch- suchung solcher Eigenschaften,
fihrung der projektivischen Geometrie wird welche Maßbeziehungen enthalten,
nicht verzichten können auf das Herein- so drängt sich manchmal derartiges
beziehen der unendlich fernen Elemente dennoch der Betrachtung auf. Und
der Ebene, also des Parallelenziehens usw. zwar bieten sich die M it t elSo wie man aber die Eigenschaften der p u n k t s e i g e n s c h a f t e n unharmonischen Beziehung und der Polarität gezwungen dar als einfache Aznauf unendlich ferne Punkte und Ge- wendung der Polaritätsbezieraden anwendet, so erhält man ganz von u g e n a u f d i e u n e n d 1 i c h
selbst die Mittelpunktseigenschaften der fernen Elemente der KiurvenStrecke und der Kurve. eb ene.
Frage 36. Welche Besonderheiten
zeigt der Polpunkt einer gegebenen Antwort. 1) Wenn der Pol geGeraden, wenn diese Gerade zur un- sucht wird zu der unendlich
endlichfernenGeradenderEbene fernen Geraden der Ebene, so
wird? rücken die Punkte E und F der
Erkl. 125. Die Eigenschaften des Pol- Fig 4 und 5 ins Unendliche, das
nkt es z uenlic fenen Gera- um- bezw. angeschriebene Vierseit
dpiiiktes zuLp iunendlic feren Ge l wird ein T a n g e n t e n- P a r a ll e l o -
denii entspringen aus den zweierlei Quellen, wrd ein Tangenten-Paralleloderen erste von den Beziehungen des gramm, uncl urch den Polpunkt
Poles zu gegebener Gerade, deren zweite P gehen nach Satz 2
von den Beziehungen der Polaren zu ge- a) die Diagonalen jedes TangebenemlPunkte geliefert wird: die ersteren genteparallelogram ms,
ergeben sich aus Satz 2, wenn p als iun- f) die Berühnrungssehne jedes
endlich ferne Gerade gegeben ist, die parallelen Tangentenpaares,
letzteren aus Satz 2 a, wenn P so gewählt y) die Mittelparalleen jedes
werden soll, daß p zur unendlich fernen Tangentenparallelogramms,
Geraden werden muß. Nach dem ersten d) die Kurventangenten durch
Teil wird der zu untersuchende Punkt die etwa vorhanenen unendlich
zum Piunkt des Brianelon ftir jedes fernen Kurvenpunkte.
T an g ente np a r allel o gramm, nämlich
zum Diagonalenschnittpunkt, d. h. zum7 2) Wenn umgekehrt durch die
Mlitt elp unkt jedes umgeschriebenen Konstruktion der Polaren eines
Parallelogramms. - Die vierte lharmo- bestimmten Punktes P die unendnische Gerade zu zwei Parallelen wird lich ferne Gerade der Ebene erdann deren Mittelparallele, wenn die vierte halten werden soll, so müssen in der
zugeordnete unendlich fern rückt; denn Fig. 7 und 8 alle Punkte I bis VIII
auf jeder Schneidenden missen vier har- ins Unendliche rücken, das eingemonische Punkte ausgeschnitten werden, schriebene Viereck wird zu einem
und da deren einer unendlich fern liegt, Sehnenparallelogralmii, und
so lmuß der andere stets in der Mitte nach Satz 2a wird
liegen. a) j e d es eingeschriebeneV i er eck,