Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

62 Projektivische (neuere) Geometrie. III. Teil.
Erkl. 116. In Figur 22 sind die jugierte Punkte bekannt, so muß
Punkte P und Q2 äußere Punkte, folg- die Verbindungsgerade Q2 Q3 die
lieh gibt es für dieselben sowohl konju- Polare zu P sein, da ja sowohl
gierte Punkte innerhalb der Kurve, näm- Q? als Q., auf der Polaren zu P
lich auf der Innenstrecke der zugehörigen liegen miissen. Sind zu einer
Berübrungssehne, als auch außerhalb der Geraden p zwei andere Gerade
Kurve, niämlich auf den beiden Außen- q2 und qs als konjugierte Gestrecken derselben zwei Berühirungssehnen. rade bekannt, so muß der SchnittEbenso hat die schneidende Gerade q2 punkt (q2 q3) der Pol zu P sein,
als konjugierte Geraden sowohl alle die da ja sowohl q2 als q 3 durch den
Kurve schneidenden Strahlen im Innen- Pol von P gehen muß.
winkel der Tanigenten von Q., als auch alle 3) Sind P und Q zwei konjugierte
die Kurve nicht schneidenden Strahlen Punkte, p und q ihre Polaren, so
in den Nebenwinkeln dieses Winkels. - liegt Q auf p, P auf q: also geht
Für einen Kurvenpunkt sind konjugiert alle p durch Q, q durch P, d. h. jede
Punkte seiner Tangente, und diese liegen der zwei Geraden p und q geht
sämtlich außerhalb; außerdem ist der durch den Pol der andern.
Kurvenpunkt auch noch sich selber Sind umgekehrt p und q zwei
konjugiert. Füir eine Tangente sind konjugierte Geraden, P und Q ihre
konjugiert alle Strahlen durch ihren Be- Pole, so geht p durch Q, q durch
rihrungspunkt, und diese schneiden samt- P: also liegt Q auf p, P auf q,
lihe die Kurve; außerdem ist die Tangente d. h. jeder der zwei Punkte P und
auch noch sich selbst konjugiert. Q liegt auf der Polaren des andern.
Erkl. 117. Man lkann den Inhalt des Demnach sind die po 1are n
zweiten Teils nebenstehender Antwort Elemente zweier konjugierten
folgendermaßen in Worte kleiden: Punkte oder Geraden s e b e r
Satz a: Die Verbindu-ngsgerade wieder konjugierte Elemente.
zweier zum gleichen Punkte konjugierten Punkte ist die Polare Figur 23.
dieses Punktes.
Satz b: Der Schnittpunkt zweier
zur gleichen Geraden konjugierten
Geraden ist der Pol dieser Geraden.
Dabei brauchen durchaus nicht Q-. Q! \;,
bezw. q.2 q3 selber konjugierte Elemente
zu sein. Ebenso lassen sich für den
dritten Teil die Sätze formulieren: — '
Satz e: Sind zwei Punkte kon- '.
jugiert, so sind auch ihre Polaren
konjugierte Strahlen.
Satz d: Sind zwei Gera den konju- '
giert, so sind auch ihre Pole konjugierte Punkte. 4) Wenn von zwei konjugierten
Erkl. 118. Der vierte Abschnitt Punkten P, Q der Punkt P innernebenstehender Antwort gilt fir jedes halb der Kurve, also der andere Q
Paar konjugierter Punkte, von welchem außerhalb der Kurve liegt, so entder eine Punkt innerhalb der Kurve steht der Pol R zur Verbindungsliegt. Denn sowie ein Punkt ilnnerhalb geraden P Q als Schnittpunkt der
der Kurve liegt, so muß jeder Strahl Tangenten in den Kurvenpunkten diedurch ihn, also auch die Verbindungsc - ser Geraden r. Nun muß die Polare,erade der beiden Punkte P, Q die Kurve zu P durch Q gehen, weil Q und P
3chn eiden: und auf dieser Verbindungs- konjugiert sind, und sie muß durch