Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

C50 Prcoj cktivisclle (neuere) Geometrie. III. il.
Frage 27. Was muß über die
Lage der Elemente eines Polardrei- Antwort. 1) Wählt man eine
ecks zur Fundamentalkurve gelten? erste Ec ke des Polardreiecks
Figurt 18. i n rinnerhalb der Kurve (Pin Fig. 18),
so läuft deren Polare p jedenfalls
ganz außerhalb der Kurve, also
liegen die beiden andern Ecken
Q und R des Dreiecks sicher außerhalb der Kurve,.da sie ja auf p
liegen müssen. - Wählt man ent~\ p|l~ "sprechend eine erste Seite außer"- h halb der Kurve (p in Fig. 18), so
-< ^ -' ^ 'liegt ihr Polpunkt P sicher innerhalb der Kurve, also müssen die
\M T/' Pr^ beiden andern Seiten q und r des
^J,^"~ ~ Dreiecks jedenfalls die Kurve
schneiden, da sie ja durch P
gehen müssen.
Erkl. 94. Wie schon die Definition 2) Es fragt sich also nur noch,
des Polardreiecks zeigt, kann jede Über- ob diese Lage schon die allgemeinste
legung wegen desselben doppelt ange- ist. Wählt man als erste Ecke
stellt werden, einmal für das Dreieck einen u ß er e n Punkt (Q in Fig. 18),
als Gesamtheit seiner drei Ecken und so muß dessen Polare q die Kurve
einmal für das Dreiseit als Gesamtheit schneiden, und auf ihr müssen
seiner drei Seiten. Die Ergebnisse die beiden andern Eckpunkte nach
nebenstehender Antworten sind daher Satz 2a; so liegen, daß sie durch
aulh völlig gleichwertig. Denn wenn die Kurvenschnittpunkte harmoeine Ecke innerhalb und zwei außer- nisch getrennt werden. Danach
halb liegen, so miüssen von selbst zwei muß unbedingt der eine innerhalb,
Seiten sclhneiden und die dritte nicht - der andere außerhalb der Sehnenund umgekehrt. strecke liegen. - Wählt man entsprechenrd als erste Seite eine
Erlil. 95. Der einfachste Fall ist der srec1eid alserste eie ei
iner inneren Ecke bezw. einer nicht schneidende Gerade (q in Fig. 18),
schneidenden Seite. Denn danni er- so mß deren Pol Q außerhalb
hält man fiür die be-iden andern Ele- ier Kurve li und durch ihn
umüssen die beiden andern Seiten
mente sofort sichere Auskunft, ohne deren
nach Satz 2;/ so hindurchgehen,
Lage imn einzelnen uniterscheiden zu
mütssen. - Geht man aber von einer daß sie durch die beiden Kurvenäußeren.- Ekeht a aoder von einer tangenten aLs Q harmonisch geäuBßeren Eclie aus, oder vonl einer
trenn3t werden. Demnach nmru die
schneidenden Seite, so müissen die t we. D h m
eine Seit;e die iKurve schneiden, die
beiden andern Elemnente noch getrennt in i
andere außerhalb laufen.
behandelt werden. Ist der äiußere Punkt
Q festgesetzt, so muß QP Polare zu R 3) Man kann also allgemein festund QR Polare zu P werden: liegt also stellen: Von den drei EckpunkQR außen, dann P innen, schneidet QP, ten eines Polarcreiecks liegt
dann liegt R außen. Die Tangenten von stets einer innerhalb, zwei
Q ans mlüssen die Kurve in den Schnitt- außerhalb der Kurve; von den
punkten von q beriihren, und mit diesen drei Seiten eines Polardreiecks
Tangenten bilden QR und QP vier hai- liegt stets eine ganz außermonische Gerade. - Ist umgekehrt die halb der Kurve, die zwei anschneidende Gerade q festgesetzt, so dern schneiden die Kurve.