Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

Das Polardreieck. 49
festgelegt ist. Dies zeigt Übereinstimmung mit der projektivisehen Zuordnung
zweier Ebenen beim Beweis der Eindeutigkeit der harmonischen Beziehung (Figur 5
des II. Teiles). Dort wurden nicht ungleichartige, sondern gleichartige Elemente
zugeordnet, und daher brauchen nicht ein Viereck und ein Vierseit, sondern zwei
Vierecke und zwei Vierseite. einander zugeordnet werden. Geschieht dabei die
Auswahl in der Lage, wie Figur 5, so hat man von vornherein die perspektivische
Lage der zugeordneten Elemente hat man allgemeine Lage des Vierecks A2 B2 02 D2,
so zeigt Figur 10 des II. Teils, daß es doch immer möglich ist, auch diese in
perspektivische Lage zu bringen. Wenn es aber moglich ist, zwei beliebig gewählte Vierecke Al B1 C1 D1 und A2 B2 C2 D9 durch passendle Verlegung im Raum
in perspektivische Lage zu bringen, so sind ihre Elemente sicher schon vorher
projektiviseh verwandt gewesen; und wenn diese projektivische Verwandtschaft
durch Wahl von vier Paaren zlueordnceter Elemente bei Zuordnung gleichartiger
Elemente festgelegt iwurde, so imuß dieselbe Anzahl auch bei Zuordnung ungleichartiger Elemente bestelen bleiben.
EriB. 92. Gegeniüber der eben betrachteten dualistischen Verwandtschaft
allgemeiner Art (welche 8 willkürliche Konstanten zuläßt) bildet nun die Polarreziprozität den besonderen Fall, welcher r nuoc h füinf willktirliche Bestimmungsstücke zuläßt, närmlich ebensoviele, als zur Bestimmung der Fundamentalkurve erforderlich sind. Dieselbe kann bestimmt sein durch 5 Punkte oder Geraden der
Art, daß sie mit ihren entsprechenden Elementen vereinigt liegen sollen, oder
durch 4 Punkte (Gerade) der ebengenannten Art nebst zugeordnetem Berührungselement zu einem, oder durch 3 Punkte (Gerade) der genannten Art nebst den in
vereinigter Lage befindlichen zugeordneten Berülilrungselementen zu zweien.
f) Das Polardreieck.
Frage 26o Was versteht man
unter einem Polardreieck und Antwort. Unter einem Polarwie entsteht ein solches dr eie ck versteht lman ein solches
Dreieck bezw. Dreiseit, in welchem
Erll. 93. Daß die nebenstehende jeder ELckpunkt der Pol der
Definition des Polardreiecks nicht etwa egegeniüberliegenden Seite, also
zu weit gefaßt ist, geht aus den Sätzen ed eite die Polare der ge1 und 7 hervor. Ist nämlich Q der erste g enüb erliegenden Ec ke ist
Eckpunkt, q seine Polare, R der zweite lbezogen auf eine beliebig gegebene
Eckpunkt und r dessen Polare, so muß Fundamentalkurve. Ein Polardreivon selbst Punkt (qr) oder P der Pol- ecl elntsteht ameinfachsten dadurch,
punkt von QIR oder p sein. Denn da daß man - entweder zu zwei beliebig
die Seite p = QR durch Q geht, muß gewäihlten Punkten die Polarihr Pol auf q liegen, und da p durch geraden konstruiert denkt und
R geht, muß ihr Pol auf r liegen, also den Schnittpt unkt dieser beiden
ist der Schnittpunkt (qr) der Pol von Geraden als dritten E ckpunkt
QR. Ist umgekehrt die erste Seite q, wählt, - oder daß man zu zwei beihr Pol Q, die zweite Seite r, ihr Pol R, liebig gewählten Geraden die
so mufß auf Grund gleichlautender Über- Polpunkte konstruiert denkt und
legungen die Gerade QR - p die Polare die Verbindungs gerade dieser
von P - (qr) sein. beiden Punkte als dritte Seite
wählt.
Sachs, Projktivischic (neuere) Geometrie. III. Teil. 4