Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

48 Projektivische (neuere) Geometrie. III. Teil.
Erkl. 89. An Figur 16 und 17 läßt sich bis ins einzelne die projektivische
Beziehung bestätigen. Der Einfachheit wegen ist überhaupt P nicht als völlig
willkürlicher Punkt gewählt, sondern als Schnittpunkt der Geraden AN und B3M,
also für die Zeichnung, nicht aber für die theoretische Auffassung, ähnlich wie der
Punkt X in der Erkl. 87. Aber man verfolgt von ganz allgemeinem Gesichtspunkt aus etwa die übereinstimmende Reihenfolge der Elemente beider
Figuren:
in Fig. 16 durch Punkt A die Geraden- in Fig. 17 auf Gerade a die Schnittpunktfolge APN, ABE, AGCM, AX, ADF, folge apn, abe, 00, agcm, ax, adf,
in Fig. 16 durch Punkt B die Geraden- in Fig. 17 auf Gerade b die Schnittpunktfolge BPM, BAE, BGDN, BX, BCF, folge bpm, bae, 00, bgdn, bx, bcf,
in Fig. 16 durch Punkt C die Geraden- in Fig. 17 auf Gerade c die Schnittpunktfolge CBF, CP, CGAM, CXDE und folge cbf, cp, 00, egam, cxde nnd eni
etwa CN,
in Fig. 16 durch Punkt D die Geraden- in Fig. 17 auf Gerade d die Schnittpunktfolge DAF, DP, DGBN, DXCE und folge daf, dp, 00, dgbn, dxce und dm.
etwa D M.
Ebenso könnte ftir die andern Elemente die Projektivität durchgeführt werden.
Insbesondere zeigt sich auch, daß, weil in Figur 16 der Punkt P auf der Verbindungsgeraden FXG liegt, auch in Figur 17 die Gerade p durch den Schnittpunkt
der Strahlen fxg hindurchgehen muß. Die Figuren 16 und 17 sind also tatsächlich
nicht in allgemein abstraktem Sinne dualistisch verwandt, sondern projektivisch im
engeren konkreten Sinne.
Erkl. 90. Bei entsprechender Erweiterung beider Figuren nach Erkl. 88
entspricht nun jeder Punkt der Ebene - aufgefaßt als Punkt der Figur 16 - einer
Geraden der Figur 17 und umgekehrt, und jede Elementengruppe der
einen Figur entspricht einer projektivisch verwandten der andern. Daß man
dabei aber nicht die spezielle polarreziproke Verwandtschaft hat, zeigt eine einfache Überlegung folgender Art: Dem Punkt A als Punkt der Figur 16 entspricht als
Strahl in Figur 17 die Gerade a. In der Zeichnung aber ist zufällig a in Figur 17
die Verlängerung der Geraden MENF der Figur 16. Wird also a als Gerade
der Figur 16 aufgefaßt, so entspricht ihr der Schnittpunkt menf der Figur 17,
und nicht etwa rückwärts der Punkt A. Betrachtet man weiter dann den Punkt
menf in Figur 17 als einen Punkt der Figur 16, so entspricht ihm wieder für
Figur 17 irgend eine andere Gerade, die jedenfalls von a verschieden ist. - Bei
der Polarreziprozität aber müßte einem Punkt A, aufgefaßt als Element der Figur 16,
die Gerade a in Figur 17, und umgekehrt der Geraden a als Element der Figur 16
auch wieder Punkt A als Elemnent der Figur 17 entsprechen. Diese Überlegung
verhilft auch dazu, dein Satze seine volle Bedeutung beizulegen. Bei Polarreziprozität zwischen Figur 16 und 17 müßte stets der Wechsel derselben Figurenelemente hin und her gehen, bei der allgemein dualistischen Verwandtschaft
wechseln (lie Elemente stets nach der Art A6, a17, A'16, a'17, A"16, a'17 etc. etc. Auch
hier gibt es Punkte in Figuri 16 bezw. 17, welche auf ihren entsprechenden Geraden der Figur 17 bezw. 16 liegen und Gerade der Figur 16 bezw. 17, welche
durch ihre entsprechenden Punkte der Figur 17 bezw. 16 gehen. Aber die Gesamtheit diesel Punkte und Geraden sind nicht Kurvenpunkte und Kurventangenten
derselben Kurve zweiten Grades, wie bei der Polarreziprozität.
Erkl. 91. Die Zuordnung der allgemeinen Dualität läßt j e d e m Element
der Ebene ein bestimmtes anderes entsprechen, wenn zwischen den Elementen
z w e i e r V i e r e cke bezw. eines Vierecks und eines Vierseits die Zuordnung