Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

44 Projektivische (neuere) Geometrie. III. Teil.
Pole ihrer eigenen Kurventangenten, und umgekehrt ihre Tangenten als Polaren
ihrer eigenen Berührungspunkte die einzigen Elemente der Ebene sind, welche
mit den zugeordneten vereinigt liegen.
Frage 24. Welcher Rückgriff
auf frühere Behandlungsweise liegt Antiwort. Die Antworten der
in den Antworten der letzten Frgen 21 und 23 liefern ine
Fragen 21 und 2W. Gegenüberstellung der Eleimente Punkt und Gerade,
Erkl. 83. Die nebenstehende Antwort e e t Einleitu
wie sie bereits seit der EIinleitung
bildet gewissermaßen die Einlösung einer
in die projektivische Geometrie zur
schon in Erkl. 102 des I. Teils dieses Anwendung gelangte unter de
Anwendung gelangte unter dern
Lehrbuchs gegebenen Ankündigung, daß NaLen der Dualität. An jener
Lnämlich das Prinzip der Dualität seine bedurfte es einer besonderen,
Stelle bedurfte es einer besonderen,
zunachst anhaftenenn scheinbaen chst willkürlich erscheinenden
zunaichst willkiirlich erscheinenden
ktirlielhkeit entkleidet und als intekri keit entleidet u as nte Festsetzung, daß Punkt und Gerade
gieener Bestandteil des gesamten Le- als leichwertig gegenüberstehende
gebandes erkannt werden solle. Man
Elemente der Raumlehre aufgefaBt
darf dabei nicht vergessen, daß in der erden sollten. Hier ist diejenige.e ' diesr eeen werden, sollten. Hier ist diejenige
historischen Entwicklung diese ~neueren Stufe der Entwicklung erreict, auf. lz Stufe der Entwieklung erreicht, auf
Geometrie" derselbe Gedankengang des Festsetzung nicht
n ~n welcher sich jene Festsetzung nicht
Rückwärtsslhreitens vom Standpunkte des eh als knstlich gemachte ervorliegenden Abschnittes iber Polarität kennen läßt, sondern als notzurtick zum dualistischen Aufbau dege Fg aus den
wendige:Folgerung aus den
Anfangskapitel sich tatsächlich vollzogen Ergebnissen der bisherigen Unterhat. Denn zuerst eschlenen Monge suchungen. Und es kann nunmehr
(1795) als Sclhpfer uind P oncelet
(1795) als Schöpfer und P oncelet wirklich gesagt werden, daß, wenn
(1818) als Vollender der Po aren- vornherein die projekniicht von vornherein die projekbeziehung, und erst auf Grund dieser Geometrie in doppelter
tivische Geomiietrie in doppelter
Theorie wurde daln von Geronn e Durchführung für Punkt- und
(1826) die eigentliche Dualität als Strahlengebilde aufgebaut worden
allgemeines Prinzip aufgestellt. Der r
witae, dann an dieser vorliegenlange Streit zwischen den beiden letztem dn S e i v v
den Stelle wieder von vorne anfranzosisehen Mathematikern iber den weren m e, u
g e fage n gen w erdei miii ßte, Ulm
Vorzug jener Theorie oder dieses Prinzips eiseitige uffassung
alle für bloB einseitige Auffassung
wurde dann durch Steine r zu gunsten gegebenen nticklungen auch fur
des letzteren unzweideutig entschieden, die polar geordneten Figuren
1 1 die polar zugeordneten Figuren
indem er schreibt (1832): ~Das Dualitäts- urzuf e
prinzip tritt als das primitivere, der
Quelle näherliegende, mit den Grundgebilden zugleich hervor, die Polarentheorie hingegen kommt erst spä,ter als
Resultat bestimmter Verbindcungen der
Grundgebilde zum Vorschein."
Frage 25. Welche Unterscheidungen müssen festgehalten werden Antwort. 1) Die an der vorzwischen dem allgemeinen D uali- liegenden Stelle neu gefundene
tätsprinzip und der polaren polare Verwandtschaft oder PolarVerwandtschaft? reziprozität bildet in ver