Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

Polarität und Duialität. 43
obiger Antwort von selbst die Beziehung, daß die Ordnungszahl der Bildkurve gleich
der Klassenzahl der Originalkurve, und umgekehrt die Klassenzahl der Bildkurve
gleich der Ordnungszahl der Originallkurve werden muß. Nur bei der Kurve zweiten
Grades sind diese beiderlei Zahlen sets gleich groß.
ErIk. 81. Es ist eine sehr nahe liegende Erleichterung der Vorstellung, daß
man sich als Fundamentalkurve fast immer eine Ellipse gewählt denkt. Das ist
wohl nicht unzulässig und aus dem Grunde auch förderlich, weil aus dieser Auffassungsweise am leichtesten der Anschluß an die gewöhnliche p 1 a i e t r isch e
Durchfihrung der Polarität inbezug auf einen K r e i s als Fundamentalkurve gefunden wird (vgl. das dieser Encyklopädie angehörige Lehrbuch der Planimetrie,
VIII. Teil, Abschnitt 6a). Jedoch muß dabei stets festgehalten werden, daß die
Polarität vollkommen allgemeine Grundlage besitzt inbezug auf jede der drei
Gattungen der Kurve zweiten Grades. Dem Studierenden kann daher nur' angeraten
werden, sich auch manche der Figuren vorzustellen und auch zu zeichnen, in
welchen als Fundamentalkurve eine Hyperbel oder Parabel verwendet wird.
Erkl. 82. Beim Studium jeder geometrischen Abbildung einer Originalebene
auf eine Bildebene sind besonders zwei Hauptfragen zu untersuchen: nämlich einmal nach dem Vorhandensein selbstentsprechender Elemente, und sodann nach dem
Ergebnis der Abbildung der unendlich fernen Elemente beider Ebenen. So findet
man in der Planimetrie, daß bei kongruenter Parallel-Verschiebung
die unendlich fernen Elemente der Ebene, sowohl Punkte als Gerade, unendlich
fern bleiben, und zwar zugleich als einzige selbstentsprechende Elemente; bei der
U m k 1 a p pun g (der axialen Symmetrie) sind die Punkte der Achse die selbstentsprechenden Punkte, die Achse selbst zusammen mit der unendlich fernen Geraden
die selbstentsprechenden Geraden, während im übrigen die unendlich fernen Punkte
wieder ins Unendliche zu liegen kommen, aber auf denselben Punkt, nur in entgegengesetzter Richtung; bei der D r e h u n g m e i en e P n k t (zentrische Symmetrie
im engeren [< 180~] und im weiteren Sinne [beliebiger <n ]) ist dieser als
Symmetriezentrum der einzige selbstentsprechende Punkt, die unendlich ferne Gerade
(und beim engeren Sinne auch die Strahlen durchs Symmetriezentrum) selbstentsprechende Geraden, während unendlich ferne Punkte wieder ins Unendliche zu
liegen kommen, aber auf andere Punkte. Bei der projektivischen Abbildulng
einer Ebene auf eine andere (Antwort 29 des 1. Teils dieses Lehrbuches) sind die
Punkte der Schnittkante und die Schnittkante selbst die selbstentsprechenden
Elemente, während die unendlich fernen Elemente jeder Ebene auf die Gegenachse
oder Fluchtgerade der anderen kommen. Läßt man die beiden Ebenen zusammenfallen, so entsteht die Verwandtschaft der sog. K ollinea r itt, wobei noch der
vorherige Projektionsscheitel als selbstentsprechendes Kollineationszentrum zum
Scheitel eines Büschels selbstentsprechender Strahlen wird, und die Kante der
vorher getrennt liegenden Ebenen als Kollineationsachse zum Träger einer selbstentsprechenden Punktreihe. Vereinfacht sich diese Abbildung zur Verwandtschaft
der Ähnlichkeit, so wird der Scheitel (äußerer oder innerer) Ähnlichkeitspunkt,
und die unendlich ferne Gerade zur Achse. Für die hier vorliegende Verwandtschaft
der Polarität wird die Abbildung der unendlich fernen Elemente zum Gegenstande eines besonderen Abschnittes gemacht; und der Begriff selbstentsprechender
Elemente ist im friüeren Sinne gar nicht vorhanden, da ja ein Punkt nicht wieder
einem Punkte, sondern einer Geraden entspricht. Man kann daher nur die Frage
aufstellen nach solchen Elementen, die mit ihren zugeordneten vereinigt liegeno
Und durch diese Auffassung erhält die Fundamentalkurve ihre ausgezeichnete
Stellung unter allen Figuren und Kurven der Ebene, indem ihre Kurvenpunkte als