Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

38 Projektivische (neuere) Geometrie. III. Teil.
Figur 15 die Verbindungsgerade BV ge- dieser wieder wird projiciert aus
rade mit a zusammenfällt, was in Figur 14 dem zweiten Kurvenschnittpunkt
nicht der Fall ist. Während also in S2 der vorgenannten Sekante aus
Figur 15 für die Gerade P B V der Pol- P durch den Projektionstrahl a2.
punkt konstruiert ist, bleibt diese Gerade Letztere endlich trifft die Gerade p
in Figur 14 außer Behandlung. Ebenso im gesuchten Polpunkte A2. -Man
sind die Geraden PAU in beiden Figuren hätte auch den Punkt AI erst aus
ohne Benennung und konstruktive Durch- S2 projicieren können durch den
führung geblieben. Strahl u 2, erhält dadurch den
Kurvenpunkt U, projiciert diesen
Erkl. 73. Der sachliche Hauptunter- a S urch den t und er
~C'hiec der Figurn 14 indaus S1 durch den Stahl uL und erschied der Figurlen 14 und 15, ebenso hält auf p denselben Punkt A2,
wie zwischen 12 und 13, besteht aber
im Vorhandensein der Tangenten x 3) Daß hierbei Strahl a und
und y vom äußeren Punkte P, während Punkt A2 wirklich polar zugeder innere Punkt P keine Tangenten ordnete Elemente sind, ersieht man
liefert. Betrachtet man die oben für a aus dem der Kurve eingeschriebei en
bzw. u, b bezw. v und c bezw. w durch- vollständigen Viereck SI 82 A Uo
geführten Elementenreihen für die Strahlen Betrachtet man nämlich als Gegenx und y, so fallt X1 in den Berührungs- seitenpaare erst PSi S2, P U A und
punkt der Kurve, die Verbindungsgerade Si A, S2 U, so folgt nach Fall a
Si X1 trifft die Kurve wieder im selben der Sätze 2a, 5a, 6a, daß a die
Punkte, und dessen Projektionsstrahl S2 X Polare von A2 und umgekehrt A2
schneidet die Gerade p ebenfalls wieder als Schnittpunkt von a2 und u, der
im gleichen Punkte X2. Demnach fällt Pol von a ist. Betrachtet man
in denselben Kurvenberührungspunkt aber als Gegenseitenpaare A2 Si,
jeder der sonst getrennt auftretenden A2 S2 und S A, S2 U, so erkennt
Punkte Xi, X, X2 zusammen; die Tan- man, daß auch wirklich p die
genten x und y von P an die Kurve Polare von P ist, daß also p durch
sind die einzigen Strahlen des Büschels den Schnittpunkt von a2 und u.
S, bezw. die Kurvenschnittpunkte X und gehen muß, und daß somit der
Y von p mit der Kurve sind die einzigen Punkt A2 sowohl durch a2 und p
Punkte der Punktreihe p, welche mit allein, als auch durch u1 und p
ihren polar zugeocrdneten allein konstruiert werden konnte.
Elementen vereinigt liegenl, Faßt man auch noch das dritte
d. h. so, daß die Punkte auf den zu- Paar Gegenseiten P S1825 P AU
geordneten Strahlen liegen, die Strahlen und a2, Ui ins Auge, so findet man,
durch die zugeordneten Punkte hindurch- daß außerdem auch die Verbindungsgehen. - In Figur 15 gibt es iberhaupt gerade von P nach A2 die Polare
keine Eleinentepaare dieser Art, daß des Punktes AI ist.
ein Strahl von P und sein zugeordneter 4) Auf Gund iese estlegungen
Punkt auf p sich in vereinigter Lage i die jeivische e
befilden. ist nun die projektivische Verwandtschaft zwischen den polar zugeErkl. 74. Besondere Erwähnung ordneten Elementen direkt aus der
fordert noch die in beiden Figuren 14 Figur abzulesen: Die Gesamtheit
und 15 beliebig gewählte feste Sekante der durch P gehenden Geraden a,
P S a S2. Auch sie bildet einen Strahl b,.. bildet einen Strahlenbüse cel,
durch P. Bezeichnet man dieselbe als k, welcher als Strahlenbüschel S beso liegt Punkt K1 im Schnittpunkt mit zeichnet werden möge. Dessen
p, Si K1 fällt mit S1 82 zusammen, folg- Projektion auf p bildet die Punktlich entspricht dem Strahl Si Ki die reihe der Punkte A1, B1 Ci,...
Tangen t e in 82 als Strahl k2 und welche als t, bezeichnet werden