Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

Allgemeine Beziehungen zwischen Pol und Polare. 31
Der d ritte und erste Fall haben gemeinsam, daß die Verbindungsgerade
PQ die Kurve schneidet, bezw. der Sclmittpunkt (pq) außerhalb der Kurve
liegt; dagegen unterscheiden sie sich dadurch, daß im dritten Falle Q innerhalb
der Kurve bezw. q ganz auß erhal b der Kurve liegt, - während im ersten
Falle Q außerhalb liegt, bezw. q die Kurve schneidet.
Erkl. 59. Entsprechend den oben erörterten Unterscheidungen geben die
Figuren 11a und llb die dreierlei Fälle in verschiedener Zeichnung. Figur 1la
zum ersten Falle ist fast identisch mit Figur 9 Seite 25: wandert QI auf p, so
dreht sich q1 um P und umgekehrt, vgl. Erkl. 51. In Figur l b ist auf der
Sekante p einerseits Qa außerhalb, also q2 schneidend - andrerseits Qs innerhalb,
also q3 außerhalb. Von Q2 und ebenso vomi Schnittpunkt (pq3) gibt es Tangenten
an die Kurve, von Qs aber und vom Schnittpunkt (pq2) gibt es keine Tangenten an
die Kurve. Demnzach werden auch die Beweisfüllrungen ermöglicht durch Tangenten
aus Q bezw. in den Kurvenschnittpunkten von q im ersten und zweiten, nicht im
dritten Fall, - durch Tangenten aus P bezw. in den Kurvenschnittpunkten von
p im zweiten und dritten Falle, nicht aber im ersten, - durch harmonische
Punkte auf PQ bezw. harmonische Strahlen im Schnittpunkte (pq) im ersten und
dritten, nicht aber im zweiten Falle.
Erkl. 60. Nimmt man die Abschnitte III und IV des obenstehenden Beweises als gleichartig zusammen, so hat man fri jeden der drei Fälle doppelte
Auswahl, da jeder der drei Einzelbeweise sich auf zwei Fälle gleichzeitig erstreckt.
Mit Tangenten, seien sie bestimmt durch Q bezw. q oder durch P bezw. p, kann
man jedesmal auskommen; mit harmonischen Elementen, nämlich entweder
P und Q als harmonischen Punkten zu den Kurvenpunkten auf PQ, oder p und q
als harmonischen Strahlen zu den Kurventangenten aus (pq), nur in den Fällen,
wo PQ die Kurve schneidet bezw. (pq) außerhalb der Kurve liegt, also im ersten
und dritten der obigen Unterscheidungsfälle.
Erkl, 61. Die beiden Beweise III und IV unterscheiden sich dadurch, daß
bei III links mit harmonischen Punlkten, rechts mit harmonischen Stra hlen gearbeitet wird, und umgekehrt bei IV links mit Iharmonischen Strahlen und rechts
mit harmonischen Punk t en. Da fiir das Auge die Beziehung von vier harlionischen Punkten auf einer Geraden leichter zu übersclauen ist, als jene von
vier harmonischen Strahlen durch einen Punkt, so wird manchmal vorgezogen,
in beiden Fällen nur mit harmonischen Punkten zu arbeiten, indem man f ilr den
Satz 7 die Beweisführung III links und für den Satz 7a die Beweisführung IV
rechts verwendet. Auch insofern stehen also die Beweise III und IV gewissermaßen als gleichwertig nur einfach neben den Abschnitten I und II des obigen
Beweises.
Erkl. 62. Die Sätze 7 und 7a bilden zwar zunächst nur die Verallgemeinerung einer in den Sätzen 2 bis 6 fir einen Einzelfall bereits enthaltenen
Aussage. Diese Feststellung der Allgemeingiltigkeit ist aber von den weitgehendsten
Folgen für die Auffassung und Verwertung der Polaritätstheorie iberhaupt;
denn sie bildet, wie die Antwort 21 und folgende nachweist, die Grundlage für
die gesamten D u a lit ts begriffe.