Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

Allgemeine Bezielilungen zwischen Pol und Polare. 29
Zum vollständigen Beweise dieser Sätze sind jeweils drei Fälle
zu unterscheiden, nämilich:
1. p liegt ganz außerhalb der 1. P liegt innerhalb der Kurve,
Kurve, so daß auch Qt jedenfalls so daß q1 jedenfalls die Kurve
außerhalb der Kurve liegt (Fig. schneidet und Q1 außerhalb liegt
lla) und q1 die Kurve schneidet; (Fig. lla);
2. p schneidet die Kurve und 2. P liegt außerhalb der Kurve
Q2 gehört der außerhalb derKurve und q2 schneidet die Kurve, d. h.
liegenden Strecke von p an, so daß q2 liegt im Innenwinkel der von
q2 die Kurve schneidet (Fig. llb); P an die Kurve gehenden Tangenten (Fig. lib), also Q2 außerhalb der Kurve;
3. p schneidet die Kurve und 3. P liegt außerhalb der Kurve
Q3 gehört der innerhalb der und qs liegt ganz außerhalb der
Kurve liegenden Strecke von p an Kurve, d. h. q3 liegt im Außen(Fig. llb), sodaß q3 ganz außerhalb winkel der von P an die Kurve
der Kurve liegt. gehenden Tangenten (Fig. 11b), also
Q3 innerhalb der Kurve.
I. Für die beiden ersten Fälle I. Für die beiden ersten Fälle
ist der Beweis schon geliefert durch ist der Beweis schon geliefert durch
den Teil /)' der Sätze 2, 5, 6. Denn den Teil j/ der Sätze 2a, 5a, 6a.
dort ist ausgesagt, dlaß die Berüh- Denn dort ist ausgesagt, daß der
rungsseh n e j e d e s ußerenPunktes Schnittpunkt der Kurventangenten
auf p durch P geht; und diese in den Kc rven ensehnittpunkten jeder
Berührungssehne ist eben die Po- Sekante durell P auf p liegt; und
lare von Qi,2. der Schnittpunkt dieser beiden Tangerlten ist eben der Pol von q,2.
II. Für den dritten und auch II. Für den dritten (und auch
nochmals für den zweiten Fall nochmals für den zweiten) Fall
ergibt sich der Beweis aus Teil 1) ergibt sich der Beweis aus Teil f
der Sätze 2a, 5a, 6a, sobald man der Sätze 2, 5, 6, sobald man P
(Fig. 11b) p als eine Sekante durch als einen Punkt auf q3 bezw. q2
Q3 (bezw. Qs) ansieht. n dot is asiet. Denn dort ist ausgesagt,
ausgesagt, daß der Schnittpunkt daß die Berührungsselhne jedes
der Tangenten in den Kurven- Punktes von q3 durch Q, geht,
schnittpunkten jeder Sekante durch d.h. daß Q3 auf der BerührungsQ3 auf q3 liegt, d. h. daß q3 durch sehne eines beliebigen Punktes
den Schnittpunkt der Tangenten in von q3L liegt; nun ist aber p die
den Kurvenpunkten einer beliebi- Berührungssehne zu Punkt P auf
gen Sekante durch Q, hindurchgeht; q3, also liegt Q3 auf p.
nun ist aber P der Tangentensehnittpunkt zur Sekante p durch
Q3, also geht q3 durch P.
III. Für den dritten und III. Für den dritten und
e r s t e n Fall erhält man auch ersten Fall erhalt man auch
einen Beweis aus Teil y der Sätze einen Beweis aus Teil c der Sätze
2a, 5a, 6a, indem man Q1 bezw. Qs 2, 5, 6, indem man q, bezw. qs mit
mit P verbindet. Denn dort ist aus- p zum Schnitt bringt. Denn dort
gesagt, daß der vierte harmonische ist ausgesagt, daß der vierte harPunkt zu Q und den Kurvenschnitt- monische Strahl zu q und den