Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

332 Projektivische (neuere) Geometrie. III. Teil.
Aufgabe 106. In der Aufgabe 105 ist das fünfte Element die
Asymptotenrichtung. Man findet also zwei konjugierte Durchmesser und
die zweite Asymptote als vierte harmonische Gerade.
Aufgabe 108. Die Parallelograrme werden zu Rechtecken. Daher
haben die Diagonalen gleiche Länge, und wenn die gegebenen zwei
Punkte oder Tangenten gleichen Abstand vom Mittelpunkt haben, oder
wenn bei (PT) die Tangente senkrecht MP steht, so entsteht ein Kreis.
Aufgabe 109. Von den vier Elementen (Po T) (P~ T) kann nur das
einzige Po willkürlich gewählt werden, da die drei anderen dadurch
festgelegt sind.
Aufgabe 114. Der Mittelpunkt des Tangentenabschnittes zwischen
den Asymptoten ist der Berührungspunkt, also kann von diesem Kurvenpunkt aus die Aufgabe 113 durchgeführt werden. Die Kurventangenten
in den neuen Punkten L1L2L3.. ergeben sich ebenso wie die Tangente
in K auf Grund Erkl. 448.
Aufgabe 116. Man konstruiert den Scheitel der Kurve nach Aufgabe 115.
Aufgabe 119. Kennt man ein Polardreieck und P P oder TT oder
(PT), so kann die Kurve ganz gezeichnet werden. Mittels P und T
erhält man nur PPPPTTTT.
Aufgabe 120. Die Scheiteltangenten senkrecht zu den Axen liefern
zweimal (P T).
Aufgabe 121. Die Asymptoten liegen symmetrisch durch den
Mittelpunkt der Scheitel.
Aufgabe 127. Zu gegebener Axe bedarf man nur noch der Elemente
PP oder (PT) oder TT, wovon eines auch durch Scheitelpunkt oder
Scheiteltangente ersetzt werden kann.
Aufgabe 132. Ausgangspunkt und Treffpunkt liegen symmetrisch,
also ebenso auch ihre Tangenten. Und die Mittelsenkrechte ist die Axe,
ihr Kurvenpunkt nach Paskal als Scheitel zu finden.
Aufgabe 134. Es wird nur die in Aufgabe 133 erstgenannte Konstruktion nach Paskal erforderlich.
Aufgabe 139. Man verfährt nach Auflösung 138 erster oder zweiter
oder dritter Art. Die projek tivisch-geometrische Konstruktion
zeichnet Ei E3 Ei 7E2, die maßgeometrische in Figur 140 nach
Erkl. 474, in Figur 141 nach Erkl. 475 oder die Tangente von E1 an
den Kreis X ZY und die senkrechte Halbsehne vom Berührungspunkt,
in Figur 142 ebenfalls nach Erkl. 475 oder die senkrechte Halbsehne
am Kreis XYZ und die Tangente im Kreisschnittpunkt derselben. Die
-t-k2
Rechnung findet ME2 ME
Aufgabe 141. Man verfährt nach Aufgabe 140 erster oder zweiter
oder dritter Art.