Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

Aufgaben Üiber involutorisch-metrische (Brennpunkts-) Eigenschaften der Kurven. 325
diese liefern den nebenstehenden Satz a VFZ=FVY, also sind die Dreiecke
nebst andern1 Beziehungen etwa in folgen- X F U und YFV gleichschenklig, und
der Form, welche zugleich den neben- man erhält XU = FX und YV=
stehenden Satz 3f in sich schließt: YF, wo noch letztere Strecke gleich
der Gegenseite F'X imn ParalleloSatz. Die Abschnitte, welche auf gramm FYF'X. Demnach wird
zwei festen Paralleltangenten x, y obige Produktengleichheit XU YV
durch eine veränderliche drittte z, c2 zu'FX-F'X c2.
oder welche auf einer festen Tangente z durch ein veräniderliches Satz/ß. Das Produkt der beiden
Paar von Paralleltangenten x, y ab- Leitstrahlen eines beliebigen
geslhnitten werden, ergeben jeweils ein Kurvenpunktes ist gleich dem Quakonstantes Produ kt, tnämlich im erstenl drat desjenigen halben KurvenFalle gleich dem Produkt der Fahr- durchmessers, welcher zumn Durehstrahlen FX, FY von einemi der Bre nn- messer 2d des gewählten Peripheriepunkte nach den beiden Berlihrungs- punktes konjugiert ist.
punkten der P'aralleltangenten oder
gleich dem Quadrate des in die 3) Nun ergibt sich iber dieselben
Parallelrichtung fallenden Kurven- beiden Leitstrahlen des Punktes X
halbmessers c, bezw. in beiderlei aus planimetrischen oder trigonoFällen gleieh dem Produkt der beiden metrischen Beziehungen im Dreieck
Fahrstrahlen aus beiden Brennpunkten FiX die Gleichung FX2 F'X
F und F' nach dem Beriihrungs- 2 (e2 d2). Wii r
punktX, Y,Z eilner festge haltenenTan -2(FM+M )2( d Wird
punk"tX.Y,Z einerfestgehailteneniiTa hierzu die doppelte Gleichung des
gente x, y, z oder gleich den Quladrat l erzu die doppelte Gleichung de
des zum Halbmesser d des festen Be-vorigen atzes addiert, näulich
riihrungspunktes X, Y, Z konjuigierten 2 FX F'X = 2c, so folgt das QuaKurvenhi albm essers c. tdrat der Summne FX+F'X, welche
selber gleich 2a ist, nämlich FX2+
Erkl. 547. Das Dreieck FF'X in F' X2 I 2 FX XX = (FX + F'X)2
Figur 166 und 167 wird durch die = (2a)2 -2 (e2 + d2) + 22. HierMittellinie MX in zwei Teildreiecke ge- nach ist 2a2-= eS +' d2 c2, also
teilt, deren Winkel im Punkte M zwei d2 -1- c = 2a2 - e2 =2a (a2 - b)
Supplementwinkel sind. Daher 1ha1ben _ b2. Damit ist gefunden:
beide Teildreiecke dieselbe Projektion
der Mittellinie MX auf die Gruindseite
FF', und man kann fir die Seiten FX Satz ~. Die Quadrate je zweier
kmon ugi e ten EllipsenhalbundlF'X entweder den allgemieinen Pvtha- n konj g ierten Ellipsenhalbgoreischen Satz oder den Cosinussatz messer ergeben konstante umder Trigonometrie anwenden. Nach me also gleich der Summe
estee ist bez-. l der Halbaxenquadrate.
ersteremn ist F X2 bezw. F'X2 gleich
der Summe der Quadrate der
beiden andern Seiten d, e veriehrt 4) An der Hyperbel gilt Satz a
bezw. vermindert um das doppelte Recht- e ede Aenderug ebenfalls
eck aus der einen derselben d und ihrer Dasselbe stimmlt für Satz i mit der
Projektion auf die andere. Bei der Abänderung, daß die Winkel des
mme F F'X2 Vllt dis e l Dreiecks FXU andere Lage haben.
Summe FX~ } F X- faillt dieses einmal
Sum.me -, '.,. dieses einmal Es liegt nämlich (Figur 167) Punkt
addierte und einmal subtrahierte Zusatz- n i Tu
2 F außerhalb des Winkels der Tanglied fort, und bleibt beiderseits e2 - d. ud so wir
gernten U X und UZ, und so wird
- Nach dem Cosinussatz ist FX2 bezw. <XFU = UFZ ' FUX, also wieF'X2= e2 + 2 + 2 e d cos(edc). Auch der XU= FX und YV-YF