Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

324 Projektivisclle (neuere) Geometrie. III. Teil.
diese Strecke zwischen JTI und KO, der Schnittpunkt links außerhalb der Geraden
S S2, für Hyperbelpunkte zwischen Si und 82 liegt die Strecke zwischen KO und
OL, der Schlittpunkt rechts der Geraden S Sa, für Hyperbelpunkte zwischen Ss
und X liegt die Strecke unterhalb O L, der Schnittpunkt wieder links von S1 Ss
aber mit verschränkter Verbindung nach den Endpunkten der Strecke s. Man hat
also wohl zu unterscheiden für die Lage der Verbindmugsgeraden von St und S2, sowohl wenn S1 S2 auf gleichem, als auch ebenso, wenIn S1 S2 auf getrennten Aesten
der Kurve liegen.
Aufgabe 214. Man soll aus den
Sätzen 34 weitere Maßeigenschaften Auflösung. 1) Läßt man die
der Kurven ableiten. beiden Tangenten x und y in Figur
9S zu Paralleltangenten werden, so
Figlur 16);. werden in Figur 166 und 167 die
V Punktreihen der Punkte U und
//Q Q V auf x und y ebenfalls projekW/ r j.-^.~' /t -tiviscl, die Berührungspunkte X
/x / -.....-_-p,- Y ulnd Y werden ihre FluchtZ /-< -...-. punkte, folglich muß nach
X '" '/"c './ Y der Satze in Erkl. 377 des II
i( =>',,~ ~Teils das Produkt XU YV einen
A/ > 4 r-"~l^ \ konstanten Wert haben für
/. jede Tangente, also auch für
die zum Durchmesser XY der
Parralleltangenten parallele TanErkl. 546. Der hierneben verwandte gente in P. Diese erzeugt aber
Satz ist ein Ergebnis des Satzes über zwei gleich große Abschnitte XW
projektivische Punktreihen, daß die Pro- -YW' MP c, wo MP der zu
dulkte der Abstände zweier zugeordneten XY konjugierte Durchmesser ist.
Punkte vom Fluchtpunkte ihrer Reihe Es ist also XU' YV =XW2= 2,
konstant sind. Nun ist bei schneidenden und man kann jenem Satz die Form
Trägern der Berührungspunkt der Kurve geben:
zugeordnet zum Trägersehnittpunkt; bei
parallelen Trägern rückt aber der Schnitt- Satz a. Das Produkt der auf zwei
punkt unendlich fern, also wird der Be- Paralleltangenten durch eine verriihrungspunkt zum Fluchtpunkte. - Den- änderliche dritte Tangente abgeselben Satz nebst anderen Ergebnissen schnittenen Tangentenabschnitte ist
kann man auch geometrisch ableiten durch konstant und gleich demi Quadrat
Anwendung des Satzes 36 und der Winkel- des in dieselbe Parallelrichtung
beziehungen an Figur 98. Zieht man fallenden halben Kurvendurchnämlich in Figur 166 und 167 zu der nmessers.
beliebig gedachten Tangente UV auch
noch die Paralleltangente, so erhält man 2) Zieht man durch den Brennein Tangentenparallelogramm, und darin punkt F die Gerade FZ in derbilden die Verbindungsstrahlen jedes selben Parallelrichtung und wählt
Brennlpunktes F mit den Eckpunkten diejenige Tangente U V, welche in
UV.. und den Berührungspunkten XYZ. Z berührt, so wird nach Satz 33
je acht Strahlen mit je vier Paar gleichen < XFU =UFZ und < YFV -VFZ;
Winkeln am Brennpunkt F und an den davon aber ist jeweils der letztere
Parallelogrammseiten. Dadurch entstehen als Wechselwinkel gleich einem
ganze Gruppen ähnlicher Dreiecke, und anderen, nämlich UFZ FUX und