Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

Aufgaben über involutorisch-metrische (Brennpunkts-) Eigenschaften der Kurven. 321
liebige Tangenten EF und GJ. Bei strahlen hat dieselbe ebenfalls die
jener allgemeinen Figur sind dann die Kurvenaxen. Aus Figur 35 erzwei anderen Dreiecke EMJ und FMG kennt man, daß es bei der Ellipse
weder einander, noch den beiden erst- zu jedem Paar konjugierter Durchgenannten gleichgroß. In Figur 164 messer ein zweites gibt, das mit
aber sind alle vier Teildreiecke des dem ersten harmonisch liegt. Und
Parallelogramms gleichgroß. Faßt man Figur 164 zeigt, daß die Längenalso die Scheiteldreiecke EMJ==GMF strecken zweier konjugierten Durcheinzeln zusammen, so erkennt man, daß messer der Hyperbel stets die
von den Parallelseiten EJ und FG dieser Mittelparallelen eines Parallelobesonderen Parallelogrammi e stets im g r amn msbilden, welches die A s y pNebenwinkel der Asymptoten Dreiecke ab- toten zu Diagonalen hat.
geschnitten werden, welche gleichen Inhalt haben mit einander und mit den
beliebigen Dreiecken EMF der ersten
Hyperbel. Demnach sind diese Parallelogrammseiten der Art wie EJ und FG
die Tangenten einer zweiten Hyperbel, welche gleiche Asymptoten hat wie die
erste und gleiches Produkt der durch beliebige Tangenten gebildeten Asymptotenabschnitte. Es ist die konjugierte Hyperbel (Figur 115 bei Aufgabe 261 des II.
Teiles). Für diese konjugierte Hyperbel sind wieder HK und CD konjugierte
Durchmesser, aber CM- DMI der nicht schneidende, und EF als Polare von C entsteht entweder als Parallelogrammlseite der durch die Paralleltangenten EHJ//GKF//CMD
auf den Asymptoten ausgeschnittenen vier Eckpunkte oder als Berührungssehne der
von C an die konjugierte Hyperbel gezogenen Tangenten CL und CO mit Abschnitten EL — FO nach Satz 22.
Erkl. 540. Es könnten noch dieselben Aufgaben 207 und 209 für die auf
der unendlich fernen Geraden durch jede Kurve gebildete Punktinvolution gestellt
werden. Da aber lier jeder Punkt unendlich fern und jede Länge unendlich groß
ist, so fällt der Begriff des Mittelpunktes als eines zugeordneten zum unendlich
fernen Punkte ganz weg, und ebenso der Begriff der unendlich groß werdenden
Potenz. Dagegen liefern die Kurvenaxen diejenigen zwei zugeordneten Punkte,
welche in zwei zu einander senkrechlten Richtungen liegen, und die Asymlptoten der Hyperbel
liefern die Ordnungsplunkte der hyperbolischen Involution, deren Richtungen
durch die Richtungen nach den Axenschnittpunkten halbiert werden.
Aufgabe 210. Man soll an einer
durch fünf beliebige Elemente be- Andeutung. Man verfährt auf
stimmten Kurve die Axen finden. Grund der vorigen Aufgabe 209.
Aufgabe 211. Man soll an einer durch fünf beliebige Elemente
bestimmten Hyperbel die Asymptoten finden.
Aufgabe 212. Von einer beliebig
gegebenen Ellipse oder Hyperbel Auflösung. 1) Man zeichnet die
oder Parabel die Brennpunkte zu beiden Axen AB und CD der
suchen. Ellipse und zeichnet um den
Sachs, Projektivishel (neuere) Geometrie. III. Teil. 21