Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

318 Projektivische (neuere) Geometrie. II. Teil.
OB2 OA _ G2. Und von den zwei der Involution als entsprechender
Punkten C D ist immer der eine ein konjugierter zum unendlich fernen
Punkt innerhalb der Kurve, der andere entsteht als Schnittpunkt der Geein Punkt außerhalb der Kurve. Der raden mit dem zu ihrer Riehtung
konjugierte Punkt zu D ist in Figlr 162 konjugierten Durchmesser MN
gefunden mittels der beiden Tangenten in Figur 162. Für irgend zwei
von D an die Kurve als Schnittpunkt konjugierte Punkte K und H der
von AB mit der Beriührungssehne zum Sekante ist also N KlN H ein n egaPunkte D, auch sind je zwei zu den tives Produkt wegen der entgegenOrdnungspunkten A und B harmonisch gesetzten Richtung seiner beiden
liegende Punkte auf AB zwei zugeord- Strecken, und der absolute Wert
nete Punkte der Involution. }/NK-NH gibt diejenige Strecke
an, um welche die Po tenzErkl. 534. Von zwei konjugierten punkte der Involution beiderseits
Punkten liegt jeder auf der Polaren des von N entfernt liegen.
anderen. Die Polare des unendlich fernen
Punktes von H N K ist aber der zur Riechtung HNKI konjugierte Durchmesser iMON, folglich ist dessen Schnittpunkt N mit
der Geraden HN Kl der konjugierte zum unendlich fernen Punkt, also der Mittelpunkt der Involution. Um zum Punkt Kl den konjugierten zu erhalten, zieht man
von K die Tangenten an die Kurve und bringt deren Bertihrungssehne zum Schniitt
mit N K. Trifft es sichl daß H und K beiderseits gleich weit von N abstellen,
so sind dieselben die Potenzpunkte. Und wie für AB der konstante reelle
Wurzelwert /0(C ( )D als reelle Halbsehne auf der Geraden gilt, so wird der imaginäre Wurzelwert ]/NH —NK als imagiinäre EHalbsehne auf NK angesehen, inämlich
als Abstand vorm Involutionsmittelpunkt nach den beiden imaginaiäreni Ordnung'spunkten
der elliptischen Involution, zu welchen je zwei zugeordnete Punkte harmonisch
liegen mißten. Der Potenzwert ist das negative Quadrat - NP2.
Aufgabe 208. In einem beliebig
gegebenen Punkte sollen Ordnungs- Anflössung. 1) Ist der gegebene
strahlen und Axenstrahlen der zu Punkt ein Punkt außerhalb der
einer gegebenen Kurve zugehörigen Kurve, so ist die Involution eine
Strahleninvolutionbestimmt werden. hy p erb olis che mit zwei OrdnungsFigur 163. strahlen, nämlich den Kurven-, - t gtangent en des Scheitelpunktes.
-_.~ - _ ^-_ - - S - - -- DDaher sind in diesem Falle (Figur, - -t v 163) dieHalbierungsgeraden des Tangentenwinklels zugleich die A x e n -
/ ja0.,X tstrahlen u, v der Involution.
2) Ist der gegebene Punkt ein
// j \ l, \ VKurvenpunkt, so ist die Involu-.j \ \ j;1 tion eine parabolische mit der,/ ^M \ STangente als einzig ausgezeichnetem
Strahle.
3) Ist der gegebene Punkt ein.A>..... ß-~- ^ Punkt innerhalb der Kurve, so
'A~/-"~ ~ist die Involution eine elliptische