Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

26 Projektivische (neuere) G eometrie 11. I. Teil.
zu Grunde liegende Kurve auch geradezu bezeichnet als Grundkurve,
Fundamentalkurve, Kernkurve, Sttitzkurve der vorliegenden Polaritättsbeziehungen, und da sie eine Kurve zweiten Grades oder ein Kegelsclnitt ist,
wohl auch als Funda mental kegelsehnitt, Hilfskegelschnitt oder DirektrixKegelschnitt.
Figur 10 a.
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Erkl. 50. In Figur 9 finden von vorstehenden Sätzen Darstellung die
beiden Fälle f und beide Falle y für einen inneren Punkt P bezw. eine äussere
Gerade p. Zu vier verschiedenen Lagen der Punkte Q1 bis QI auf p sind die
Tangentenpaare gezogen, und jedesmal geht die Beriihrungssehne durch P; zu
jeder der vier Lagen von Qh bis Q4 ist auch die vierte harmonische Gerade
zu p und zu beiden Tangenten angedeutet, und jedesmal geht dieselbe nach dem
Punkte P. - Ebenso sind zu vier verschiedenen Lagen der Geraden q1 bis q4
durch P die Kurventalngenten in deren beiden Kurvenpunkten gezogen, und jedesmal
liegt der Tangentenschnittpunkt auf p; zu jeder der vier Lagen von q1 bis q4
ist auch der vierte harmonische Punkt zu P und den beiden Kurvenschnittpunkten angegeben, und jedesmal liegt derselbe auf p. Dieser zuletzt genannte
Fall y ist derjenige, welcher vom Satze 6a die häufigste Anwendung findet.
Erkl. 51. Die beiderseitigen Teile ßi der obenstehenden Sätze sind, wie
ein Blick auf die Figur 9 beweist, geradezu identisch, d. h. sie besagen denselben
Tatbestand iur mit verschiedenen Worten. Daher wird auch von dieser Art
dualistischen Zusammenhanges später noch besonders die Rede sein müssen. Auch
erkennt man sofort, daß jedesmal qc die Polare von Q1, bezw. Q1 der Pol von q1
ist, daß also auch in dieser Hinsicht die Figur 9 noch zu weiteren Folgerungen
Anlaß geben muß.
Erkl. 52. In Figur 10a, b finden von obenstehenden Sätzen Darstellung die
Fälle c und y der rechtsseitigen Sitze 5a, 6a für äußeren Punkt P bezw.
schneidende Gerade p. In Figur 10a gehen durch den Punkt P vier verschiedene
Lagen q, bis q4l der veränderlichen Geraden. Für die Geraden qL und q2 sind