Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

Aufgaben über d. involut. Bezieh. a. d. Kurven 2. Grades u. sog. Aufg. 2. Grades 311.
welche die fünf 'I'angenten ql q2 q3 a4 b4, die gesuchte, q1 q2 in Figur 83 seien
und zwar die beiden letzteren in den zwei von den gegebenen drei KurvenPunkten P1 P2 berührt. Bei der Lage tangenten, und die Punkte (tI 2 a2)
der Elemente in Figur 158 sind alle vier und (b34 a) die beiden gegebenen
Kurven Ellipsen. Wüiirde aber eine der Kurvenpunkte, dann entsteht im
Tangenten q1 q, q3 zwischen den Punkten Punkte S die Involution der StrahlenPIP2 hindurchgehen, so könnte keine paare qi q2 a a2, und man weiß aus
Ellipse unter den vier Kurven sein. Satz 30b, daß der Schnittpunkt der
Tangenten tb auf einem der beiden
Erkl. 522. Mit den Aufgaben 195 Ordnungsstrahlen c 2 dieser Invound 199 sind erstmals Aufgaben mit lution liegen muß. Sind aber nun
vier Lösungen aufgestellt und durch- q2 q3 in Figur 158 ein anderes Paar
gefiührt. Man könnte dieselben daher als derdreigegebenenKurventangenten,
Aufgaben vierten Grades bezeichnen. so entsteht in diesem neuen TanSie erinnern an die Einzelfälle aus den gentenschnittpunkt (q2 q3) wieder eine
zehn Beispielen des Apollonischen Pro- solche Strahleninvolution mit Strahblems, welche ebenfalls als Aufgaben mit lenpaar q2 q3 und den beiden Vervier Lösungen erscheinen, nämlich PTK, bindungsstrahlen nach den KurvenPKK und TTT. -Wenn von der ent- punkten, und derselbe Tangentenstehenden Strahleninvolution die Strahlen- schnittpunkt (al b) muß auch in
paare (q1 q2) (q2 q3) (q3 ql) durch die diesem zweiten Tangentenschnittanderen Strahlenpaare nicht getrennt punkt dnrch seine Verbindungsw-erden, so gibt es sicher Ordnungs- gerade d einen der beiden Ordstrahlen. Zu diesem Ende dürfen aber nungsstrahlen liefern. Ebenso könnte
die Punkte P1P2 nur entweder im glei- man den dritten Tangentenschnittchen oder in Scheitelwinkelräiumen, keines- punkt (q3q ) verwenden, erhält wieder
falls in Nebenwinkelräillenl der gegebenen eine Involution mit Strahlenpaar
Tangenten liegen. Wenn zwei von den q3 qi und den Verbindungsgeraden
Involutionen Ordnungsstrahlen besitzen, nach den Kurvenpunkten P P2 und
so erzeugen dieselben schon alle vier Ordnungsstrahlen e und e', und derSchnittpunkte U1 2 3 4, und die Ver- selbe Tangentenschnittpunkt al bl
bindungsgeraden des dritten Involutions- nmuß auch hier auf einem der beiden
scheitels mit diesen Punkten sind zu- Ordnungsstrahlen liegen.
gleich die Ordnungsstrahlen der dritten 2 Hiernach können aus den geInvolution. Wenn aber etwa nur eine der H
gebenen Stiicken ql q2 q3 nebst P P
drei Involutionen Ordnungsstrahlen besitzt, gebenen Strn q q l nebst P P
so entstehen keine Schnittpunkte U, also zunächst die drei d rah -
tionen und deren Ordnungsstrahauch keine Tangenten in den gegebenen le konstr-iiert werden, und jeder
IKurvenpunkten, folglich keine Kurven Scinittpunkt solcher drei OrdHnit den gegebenen estimmung'sstiieken.
mit den gegebenen Besti nnnungsstrahlen kann als Schnitt- Hiernach wäre eine der Aufgabe 197 punkt der Kurventangenten in
entsprechende Forderung ebenso wie dort den beiden gegebenenKurvenpunkten
zu erledigen durch Verlegung der beiden verwandt werden, d. h. ein solcher
Punkte P1 P, in zwei Nebenwinkeliräi e Schnittpunkt liefert als Verbindungseines der gegebenen Tangentenpaare. geraden mit iP2 die Kurventangenten in diesen beiden Punkten. Dadurch sind die gegebenen Elemente T TT, P P erweitert auf
TTT (TP) (TP), also kann die Kurve nach Brianchon weiter konstruiert
werden.
3) Man erhält in Figur 158 in j e dem der drei Tangentenschnittpunkte
(q1 q2) (q2 q3) (q3 ql) zwei Ordnungsstrahlen, von dcenen aber je drei durch